导数分析与商法则
本节课进一步讨论导数图形的读取方法，通过导数判断函数的递增、递减区间以及波峰和波谷的位置。此外还将介绍商法则——用于对分数求导的公式——在涉及比率变化的场景中有广泛应用。
在工程设计中，不仅需要关注轨道或结构的形状，更需要了解其递增、递减区间以及波峰和波谷的位置，这正是导数所提供的信息。商法则则在涉及比率计算的场景中频繁出现，例如”每加仑英里数”或”每场得分”等。
本课内容
- 多项式绘图：蛇形法（继续练习）
- 根处的重数：偶数幂 = 反弹，奇数幂 = 穿越
- 通过导数图形 \(f'(x)\) 理解 \(f(x)\)
- 通过 \(f'(x)\) 的符号变化识别极大值、极小值和驻点
- 通过将分数改写为 \(x\) 的幂来求导
- 商法则：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(\frac{P}{Q}\right) = \frac{Q \cdot dP - P \cdot dQ}{Q^2}\)
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多项式绘图：蛇形法
使用蛇形法的前提是将多项式写成因式分解的形式。例如：
\[x^3 - 4x = x(x-2)(x+2)\]
因子给出根（图形触碰或穿越 x 轴的位置）。确定根之后，即可蛇形穿过它们。
蛇形法是一种快速绘制多项式图形的方法：
- 从因式分解形式中找到根。
- 在 x 轴上标记它们。
- 检查首项以确定图形在右端是从上方还是下方开始。
- 蛇形穿过根——在奇数重数根处穿越，在偶数重数根处反弹。
重数与根处的行为
每个因子的幂次（重数）决定了在该根处的行为：
| 因子 | 重数 | 在根处的行为 |
|---|---|---|
| \((x - r)^1\) | 1（奇数） | 图形穿越 x 轴 |
| \((x - r)^2\) | 2（偶数） | 图形从 x 轴反弹 |
| \((x - r)^3\) | 3（奇数） | 图形以平坦的 S 形穿越 |
| \((x - r)^4\) | 4（偶数） | 图形反弹（比平方更平坦） |
奇数幂 = 穿越。偶数幂 = 反弹。
为什么？因为 \((x - r)^{\text{偶数}}\) 总是 \(\geq 0\)——平方（或四次方等）不能为负。所以图形不能穿到另一边。但 \((x - r)^{\text{奇数}}\) 会变号，所以图形必须穿越。
探索重数——拖动滑块改变幂次：
临界点与读取导数图形
导数 \(f'(x)\) 给出 \(f(x)\) 在每个点处的斜率。若 \(f'(x) > 0\)，原函数递增；若 \(f'(x) < 0\)，原函数递减；若 \(f'(x) = 0\)，函数暂时是平的——此即临界点。
导数图形 \(f'(x)\) 就像原函数 \(f(x)\) 的仪表盘：
| \(f'(x)\) 的行为 | \(f(x)\) 的行为 |
|---|---|
| \(f'(x) > 0\)（在 x 轴上方） | \(f(x)\) 递增（上升） |
| \(f'(x) < 0\)（在 x 轴下方） | \(f(x)\) 递减（下降） |
| \(f'(x) = 0\)（穿过 x 轴） | \(f(x)\) 有临界点（水平） |
识别极大值、极小值和驻点
临界点（\(f'(x) = 0\) 处）可能是以下三种情况之一。通过观察 \(f'(x)\) 的符号变化来判断：
检查临界点前后导数的符号。符号的变化（或不变）准确地反映了临界点的类型。
| \(f'(x)\) 的符号变化 | 临界点类型 |
|---|---|
| \(+ \to -\)（先正后负） | 局部最大值（山顶） |
| \(- \to +\)（先负后正） | 局部最小值（谷底） |
| 符号不变（\(+ \to +\) 或 \(- \to -\)） | 驻点拐点（水平但继续前进） |
- 最大值：函数先递增（\(f' > 0\)），到达顶部后递减（\(f' < 0\)）。
- 最小值：函数先递减（\(f' < 0\)），到达底部后递增（\(f' > 0\)）。
- 驻点拐点：变化率暂时为零，但函数继续沿同一方向变化——类比为道路上的一个短暂平坦段。
探索：同时查看 \(f(x)\) 和 \(f'(x)\)：
注意：\(f'(x) = 0\) 在 \(x = -1\) 和 \(x = 1\) 处——正好是 \(f(x)\) 取得极大值和极小值的位置。
动画演示：导数符号图——f’(x) 正/负对应 f(x) 递增/递减
Derivative Sign Chart for f(x) = x³ - 3x
分数求导：改写为幂的形式
利用 \(\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}\)，可以将分数转化为幂函数，进而用幂法则求导。
在学习商法则之前，有一个更简单的技巧，当分母只是 \(x\) 的幂时适用：将分数改写为幂的和。
示例： 对 \(\dfrac{1 + x}{x^2}\) 求导。
第 1 步： 拆分分数：
\[\frac{1 + x}{x^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = x^{-2} + x^{-1}\]
第 2 步： 对每一项应用幂法则：
\[\frac{d}{dx}\left(x^{-2} + x^{-1}\right) = -2x^{-3} + (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}\]
这一快捷方法完全避开了商法则，在分母为 \(x\) 的幂时优先采用。
商法则
商法则建立在乘法法则的基础上。回顾：如果 \(y = P \cdot Q\)，则
\[\frac{dy}{dx} = P \cdot \frac{dQ}{dx} + Q \cdot \frac{dP}{dx}\]
商法则处理的是 \(P/Q\) 而不是 \(P \cdot Q\)。
当 \(P\) 和 \(Q\) 都是 \(x\) 的函数时，对分数 \(\dfrac{P}{Q}\) 求导适用商法则：
对分数求导时，使用”下乘上导减上乘下导，除以下的平方”。
\[\frac{d}{dx}\!\left(\frac{P}{Q}\right) = \frac{Q \cdot \dfrac{dP}{dx} \;-\; P \cdot \dfrac{dQ}{dx}}{Q^2}\]
从 \(y = \dfrac{P}{Q}\) 开始。当 \(x\) 变化一个微小量 \(dx\) 时：
- \(P\) 变为 \(P + dP\)
- \(Q\) 变为 \(Q + dQ\)
所以新值为 \(\dfrac{P + dP}{Q + dQ}\)。\(y\) 的变化为：
\[dy = \frac{P + dP}{Q + dQ} - \frac{P}{Q}\]
将两个分数通分，公分母为 \(Q(Q + dQ)\)：
\[dy = \frac{Q(P + dP) - P(Q + dQ)}{Q(Q + dQ)} = \frac{Q \cdot dP - P \cdot dQ}{Q(Q + dQ)}\]
由于 \(dQ\) 是无穷小量，\(Q + dQ \approx Q\)，所以：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{Q \cdot \dfrac{dP}{dx} - P \cdot \dfrac{dQ}{dx}}{Q^2}\]
动画演示：商法则可视化——矩形面积模型
Quotient Rule: Q·P' − P·Q' over Q²
示例： 对 \(\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\) 求导。
令 \(P = x^2 + 1\)，\(Q = x - 3\)。则 \(\dfrac{dP}{dx} = 2x\)，\(\dfrac{dQ}{dx} = 1\)。
\[\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^2+1}{x-3}\right) = \frac{(x-3)(2x) - (x^2+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}\]
探索函数及其导数：
速查表
| 概念 | 关键公式/法则 |
|---|---|
| 根处的重数 | 奇数幂 = 穿越，偶数幂 = 反弹 |
| \(f'(x) > 0\) | \(f(x)\) 递增 |
| \(f'(x) < 0\) | \(f(x)\) 递减 |
| \(f'(x) = 0\)，符号 \(+ \to -\) | 局部最大值 |
| \(f'(x) = 0\)，符号 \(- \to +\) | 局部最小值 |
| \(f'(x) = 0\)，符号不变 | 驻点拐点 |
| 分数快捷法 | \(\dfrac{1+x}{x^2} = x^{-2} + x^{-1}\)，然后用幂法则 |
| 商法则 | \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{P}{Q}\right) = \dfrac{Q \cdot dP - P \cdot dQ}{Q^2}\) |