乘法法则、链式法则与反函数
当函数相乘、嵌套或反向运行时会发生什么？在这节课中，你将解锁三个强大的法则——乘法法则、链式法则和反函数导数——它们让你能够处理所有这些情况。一旦你掌握了这些工具，几乎没有你不能求导的函数！
每当工程师设计东西时，他们都会组合更简单的部件：
- 乘法法则：一家工厂的收入是（单价）\(\times\)（销量）。两者都随时间变化——收入变化多快？你需要乘法法则！
- 链式法则：你手机的 GPS 将卫星信号转换为位置，再转换为速度。每一步都输入到下一步，就像复合函数一样。
- 反函数：温度计将温度转换为水银柱高度。但你读取它时是反过来的：水银柱高度转换为温度。这就是反函数！
本课内容
- 商法则回顾：\(d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\)
- 无穷小量的阶：哪些微小项保留，哪些舍弃
- 通过扩展商法则对 \(\frac{f}{g^2}\) 求导
- 乘法法则：\(d(fg) = g\,df + f\,dg\) 及其几何解释
- 多因子的广义乘法法则（例如 \(f^2 \cdot g^3 \cdot h^{-4}\)）
- 复合函数与链式法则
- 反函数的导数：\(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}\)
- 通过判别式判断单调性和可逆性
课程视频
课程关键帧
无穷小量 \(dx\) 是一个小到本质上为零的量——但又不是完全为零。我们用它来衡量当输入微微变化时函数改变了多少。
关键思想：如果 \(dx\) 是无穷小的，那么 \(dx^2\)（即 \(dx \times dx\)）就压倒性地更小。这样想：如果 \(dx = 0.001\)，那么 \(dx^2 = 0.000001\)——小了一千倍！所以我们可以安全地舍弃含 \(dx^2\) 或更高次幂的项。
我们在前一课中已经推导了商法则。结果如下：
\[d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\]
读作：“下乘上的变化量，减去上乘下的变化量，除以下的平方。”
商法则回顾与无穷小量的阶
当我们推导商法则时，我们展开所有项，然后舍弃了高阶项——像 \(df \cdot dg\) 这样的乘积，它们与单独的 \(df\) 或 \(dg\) 相比无穷小。
经验法则：总是保留最低阶的无穷小项，舍弃任何更小的项。
| 项 | 阶 | 保留还是舍弃？ |
|---|---|---|
| \(df\) | 一阶 | 保留 |
| \(dg\) | 一阶 | 保留 |
| \(df \cdot dg\) | 二阶 | 舍弃 |
| \(df^2\) | 二阶 | 舍弃 |
如果你有一个和式 \(3\,df + 5\,dg + 2\,df\,dg\)，答案就是 \(3\,df + 5\,dg\)。
扩展商法则：对 \(\frac{f}{g^2}\) 求导
如果分母是 \(g^2\) 而不是 \(g\) 怎么办？我们可以将 \(g^2\) 视为一个整体函数，然后应用商法则：
\[d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g^2\,df - f\,d(g^2)}{g^4}\]
我们需要 \(d(g^2)\)。展开 \((g + dg)^2 - g^2 = 2g\,dg + (dg)^2\)，舍弃 \((dg)^2\) 项：
\[d(g^2) = 2g\,dg\]
代回并化简：
\[d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g^2\,df - f \cdot 2g\,dg}{g^4} = \frac{g\,df - 2f\,dg}{g^3}\]
探索商法则——比较 \(f/g\) 和 \(f/g^2\)：
乘法法则
要对乘积 \(y = f \cdot g\) 求导，考虑当 \(f\) 和 \(g\) 都变化微小量 \(df\) 和 \(dg\) 时会发生什么：
\[(f + df)(g + dg) = fg + g\,df + f\,dg + df\,dg\]
减去原来的 \(fg\) 并舍弃微小的 \(df\,dg\) 项：
当两个函数相乘时，它们乘积的变化量等于第一个函数乘以第二个函数的变化量，加上第二个函数乘以第一个函数的变化量。
\[\boxed{d(fg) = g\,df + f\,dg}\]
几何解释
将 \(f \cdot g\) 想象成一个边长为 \(f\) 和 \(g\) 的矩形的面积。
当你把两条边都稍微拉长时，新的面积增加了：
- 一个薄的水平条：高 \(f\)，宽 \(dg\) → 面积 \(f\,dg\)
- 一个薄的垂直条：宽 \(g\)，高 \(df\) → 面积 \(g\,df\)
- 一个微小的角落方块：\(df \times dg\) → 可忽略不计！
所以面积的总变化为 \(g\,df + f\,dg\)。
探索矩形解释——拖动滑块改变”微小变化量”：
广义乘法法则
如果你有很多因子相乘怎么办？规律自然地扩展。求导时，逐个遍历每个因子：对那个因子求导，保持其余不变，然后把所有部分加起来。
示例：\(y = f^2 \cdot g^3 \cdot h^{-4}\)
\[dy = \underbrace{2f\,df \cdot g^3 \cdot h^{-4}}_{\text{对 } f^2 \text{ 求导}} + \underbrace{f^2 \cdot 3g^2\,dg \cdot h^{-4}}_{\text{对 } g^3 \text{ 求导}} + \underbrace{f^2 \cdot g^3 \cdot (-4)h^{-5}\,dh}_{\text{对 } h^{-4} \text{ 求导}}\]
两边同除以 \(y = f^2 g^3 h^{-4}\)：
\[\frac{dy}{y} = \frac{2\,df}{f} + \frac{3\,dg}{g} - \frac{4\,dh}{h}\]
每一项就是指数乘以该因子的相对变化量。这叫做对数微分法，可以让复杂的乘积变得简单得多！
复合函数与链式法则
复合函数是嵌套在另一个函数里面的函数。例如：
\[y = (3x^2 + 1)^5\]
这里”内层”函数是 \(u = 3x^2 + 1\)，“外层”函数是 \(y = u^5\)。
链式法则
要求 \(dy\)，从外向内计算：
\[dy = 5u^4 \cdot du = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x\,dx\]
用分数形式表示：
要对嵌套函数求导，将外层函数的导数（在内层函数处求值）乘以内层函数的导数。这就像一连串齿轮——每个速率都乘以下一个。
\[\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}\]
把它想象成一连串齿轮：\(x\) 的微小转动引起 \(u\) 的转动，\(u\) 的转动又引起 \(y\) 的转动。总效果是相乘的。
探索链式法则——看内层函数如何影响导数：
反函数的导数
如果 \(y = f(x)\)，反函数给出 \(x = f^{-1}(y)\)——它”撤销”\(f\)。
反函数导数有一个优美简洁的公式：
反函数的斜率就是原函数斜率的倒数。如果原函数上升得很陡，反函数就上升得很缓，反之亦然。
\[\boxed{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}}\]
这在几何上很有道理：如果 \(y\) 的变化速度是 \(x\) 的 3 倍，那么 \(x\) 的变化速度就是 \(y\) 的 \(\frac{1}{3}\) 倍。
示例
如果 \(y = x^3\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，所以：
\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3x^2}\]
由于 \(x = y^{1/3}\)，我们可以写 \(x^2 = y^{2/3}\)，得到 \(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3y^{2/3}}\)。
这与我们直接对 \(x = y^{1/3}\) 求导得到的结果一致！
单调性与可逆性
一个函数只有当它是单调的时才可逆——也就是说它始终递增或始终递减。如果它掉头了（有局部最大值或最小值），那么两个不同的 \(x\) 值会给出相同的 \(y\)，你就无法唯一地反转这个过程。
如何判断：判别式检验
对于像 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 这样的多项式，导数是：
\[\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c\]
这是一个二次函数。当这个二次函数永远不变号时，原函数是单调的，这发生在判别式为负时：
\[(2b)^2 - 4(3a)(c) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 4b^2 - 12ac < 0\]
没有实数根意味着导数永远不穿过零，所以函数永远不会掉头！
探索——一个系数可调的三次函数。什么时候它是可逆的？
在上面的图中，试着设 \(a = 1\)，\(b = 3\)，\(c = 1\)。你应该看到导数（红色虚线曲线）降到零以下——这意味着三次函数有局部最大值和最小值，不可逆！
现在试试 \(a = 1\)，\(b = 0\)，\(c = 1\)。导数在所有地方都保持正值——三次函数严格递增，是可逆的。
速查表
| 法则 | 公式 |
|---|---|
| 乘法法则 | \(d(fg) = g\,df + f\,dg\) |
| 商法则 | \(d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\) |
| 扩展商法则 | \(d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g\,df - 2f\,dg}{g^3}\) |
| 链式法则 | \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\) |
| 反函数 | \(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}\) |
广义乘法法则
要对 \(f_1^{n_1} \cdot f_2^{n_2} \cdots f_k^{n_k}\) 求导：对每个因子，对它求导（提出指数），保持其余不变，然后把所有部分加起来。
可逆性判断
当函数是单调的（始终递增或始终递减）时，它才是可逆的。对于三次函数 \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)，检查导数 \(3ax^2 + 2bx + c\) 的判别式为负：\(4b^2 - 12ac < 0\)。
无穷小量的阶
总是保留最低阶的项。舍弃任何两个或多个无穷小量的乘积（\(df \cdot dg\)，\(dx^2\)，等等）。