乘法法则、链式法则与反函数

本节课讨论函数相乘、嵌套或求逆时的求导问题，介绍三个核心法则——乘法法则、链式法则和反函数导数。掌握这些工具后，几乎可以对任意函数进行求导。

Tip应用背景

在工程设计中，通常需要将简单部件组合使用：

• 乘法法则：工厂收入等于（单价）\(\times\)（销量），两者都随时间变化——收入的变化率需要用乘法法则来计算。
• 链式法则：GPS 将卫星信号转换为位置，再转换为速度，每一步都输入到下一步，正如复合函数的嵌套结构。
• 反函数：温度计将温度映射为水银柱高度，而读取过程则是其反函数——由水银柱高度还原温度。

本课内容

• 商法则回顾：\(d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\)
• 无穷小量的阶：哪些微小项保留，哪些舍弃
• 通过扩展商法则对 \(\frac{f}{g^2}\) 求导
• 乘法法则：\(d(fg) = g\,df + f\,dg\) 及其几何解释
• 多因子的广义乘法法则（例如 \(f^2 \cdot g^3 \cdot h^{-4}\)）
• 复合函数与链式法则
• 反函数的导数：\(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}\)
• 通过判别式判断单调性和可逆性

课程视频

课程关键帧

Note预备知识：无穷小量

无穷小量 \(dx\) 是一个小到本质上为零的量——但又不是完全为零。我们用它来衡量当输入微微变化时函数改变了多少。

关键思想：如果 \(dx\) 是无穷小的，那么 \(dx^2\)（即 \(dx \times dx\)）则更小若干量级。例如，若 \(dx = 0.001\)，则 \(dx^2 = 0.000001\)，小了三个数量级。因此可以安全地舍去含 \(dx^2\) 或更高次幂的项。

Note预备知识：商法则

我们在前一课中已经推导了商法则。结果如下：

\[d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\]

读作：“下乘上的变化量，减去上乘下的变化量，除以下的平方。”

商法则回顾与无穷小量的阶

在推导商法则时，展开所有项后需舍去高阶项——如 \(df \cdot dg\) 这样的乘积，它们与单独的 \(df\) 或 \(dg\) 相比是高阶无穷小。

一般原则：保留最低阶的无穷小项，忽略任何更小的项。

项	阶	保留还是舍弃？
\(df\)	一阶	保留
\(dg\)	一阶	保留
\(df \cdot dg\)	二阶	忽略
\(df^2\)	二阶	忽略

例如，对于和式 \(3\,df + 5\,dg + 2\,df\,dg\)，结果为 \(3\,df + 5\,dg\)。

扩展商法则：对 \(\frac{f}{g^2}\) 求导

如果分母是 \(g^2\) 而不是 \(g\) 怎么办？我们可以将 \(g^2\) 视为一个整体函数，然后应用商法则：

\[d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g^2\,df - f\,d(g^2)}{g^4}\]

我们需要 \(d(g^2)\)。展开 \((g + dg)^2 - g^2 = 2g\,dg + (dg)^2\)，舍弃 \((dg)^2\) 项：

\[d(g^2) = 2g\,dg\]

代回并化简：

\[d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g^2\,df - f \cdot 2g\,dg}{g^4} = \frac{g\,df - 2f\,dg}{g^3}\]

探索商法则——比较 \(f/g\) 和 \(f/g^2\)：

乘法法则

要对乘积 \(y = f \cdot g\) 求导，考虑 \(f\) 和 \(g\) 同时产生微小变化量 \(df\) 和 \(dg\) 时的情形：

\[(f + df)(g + dg) = fg + g\,df + f\,dg + df\,dg\]

减去原来的 \(fg\) 并舍去高阶项 \(df\,dg\)：

Important核心要点：乘法法则

当两个函数相乘时，它们乘积的变化量等于第一个函数乘以第二个函数的变化量，加上第二个函数乘以第一个函数的变化量。

\[\boxed{d(fg) = g\,df + f\,dg}\]

几何解释

可以将 \(f \cdot g\) 理解为一个边长为 \(f\) 和 \(g\) 的矩形的面积。

当两条边各增加微小量时，面积的增量由以下三部分组成：

• 一个薄的水平条：高 \(f\)，宽 \(dg\)，面积为 \(f\,dg\)
• 一个薄的垂直条：宽 \(g\)，高 \(df\)，面积为 \(g\,df\)
• 一个微小的角落方块：\(df \times dg\)，可忽略不计

因此面积的总变化为 \(g\,df + f\,dg\)。

动画演示：乘法法则的矩形面积模型

Product Rule: Area Model — d(fg) = g·df + f·dg

df: 0.00 dg: 0.00

探索矩形解释——拖动滑块改变”微小变化量”：

广义乘法法则

对于多个因子相乘的情形，规律自然地推广：求导时，逐个遍历每个因子，对该因子求导，保持其余不变，然后将所有部分相加。

示例：\(y = f^2 \cdot g^3 \cdot h^{-4}\)

\[dy = \underbrace{2f\,df \cdot g^3 \cdot h^{-4}}_{\text{对 } f^2 \text{ 求导}} + \underbrace{f^2 \cdot 3g^2\,dg \cdot h^{-4}}_{\text{对 } g^3 \text{ 求导}} + \underbrace{f^2 \cdot g^3 \cdot (-4)h^{-5}\,dh}_{\text{对 } h^{-4} \text{ 求导}}\]

Tip技巧：对数快捷法

两边同除以 \(y = f^2 g^3 h^{-4}\)：

\[\frac{dy}{y} = \frac{2\,df}{f} + \frac{3\,dg}{g} - \frac{4\,dh}{h}\]

每一项恰好是指数乘以该因子的相对变化量。此方法称为对数微分法，可以显著简化复杂乘积的求导。

复合函数与链式法则

复合函数是嵌套在另一个函数里面的函数。例如：

\[y = (3x^2 + 1)^5\]

这里”内层”函数是 \(u = 3x^2 + 1\)，“外层”函数是 \(y = u^5\)。

链式法则

要求 \(dy\)，从外向内计算：

\[dy = 5u^4 \cdot du = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x\,dx\]

用分数形式表示：

Important核心要点：链式法则

要对嵌套函数求导，将外层函数的导数（在内层函数处求值）乘以内层函数的导数。这就像一连串齿轮——每个速率都乘以下一个。

\[\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}\]

可以类比为一连串齿轮：\(x\) 的微小转动引起 \(u\) 的转动，\(u\) 的转动又引起 \(y\) 的转动，总效果是各环节速率的乘积。

动画演示：链式法则——微扰沿复合函数传播

Chain Rule: x → u = g(x) → y = f(u)

x: 1.00 dx: 0.00

探索链式法则——看内层函数如何影响导数：

反函数的导数

如果 \(y = f(x)\)，反函数给出 \(x = f^{-1}(y)\)——它”撤销”\(f\)。

反函数导数有一个优美简洁的公式：

Important核心要点：反函数导数

反函数的斜率就是原函数斜率的倒数。如果原函数上升得很陡，反函数就上升得很缓，反之亦然。

\[\boxed{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}}\]

这在几何上很有道理：如果 \(y\) 的变化速度是 \(x\) 的 3 倍，那么 \(x\) 的变化速度就是 \(y\) 的 \(\frac{1}{3}\) 倍。

示例

如果 \(y = x^3\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，所以：

\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3x^2}\]

由于 \(x = y^{1/3}\)，我们可以写 \(x^2 = y^{2/3}\)，得到 \(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3y^{2/3}}\)。

这与直接对 \(x = y^{1/3}\) 求导得到的结果一致。

单调性与可逆性

一个函数在其为单调的（即始终递增或始终递减）时才可逆。若函数出现转向（有局部极值），则两个不同的 \(x\) 值可能给出相同的 \(y\)，从而无法唯一地反转。

如何判断：判别式检验

对于像 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 这样的多项式，导数是：

\[\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c\]

这是一个二次函数。当该二次函数始终不变号时，原函数是单调的，这发生在判别式为负时：

\[(2b)^2 - 4(3a)(c) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 4b^2 - 12ac < 0\]

无实数根意味着导数始终不穿过零，因此函数不会改变单调性。

探索——一个系数可调的三次函数。什么时候它是可逆的？

Tip交互演示：三次函数的可逆性

设 \(a = 1\)，\(b = 3\)，\(c = 1\)，可以观察到导数（红色虚线曲线）降到零以下——这意味着三次函数有局部极值，不可逆。

再设 \(a = 1\)，\(b = 0\)，\(c = 1\)，导数处处保持正值——三次函数严格递增，是可逆的。

速查表

法则	公式
乘法法则	\(d(fg) = g\,df + f\,dg\)
商法则	\(d\!\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}\)
扩展商法则	\(d\!\left(\frac{f}{g^2}\right) = \frac{g\,df - 2f\,dg}{g^3}\)
链式法则	\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
反函数	\(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}\)

广义乘法法则

要对 \(f_1^{n_1} \cdot f_2^{n_2} \cdots f_k^{n_k}\) 求导：对每个因子，对它求导（提出指数），保持其余不变，然后把所有部分加起来。

可逆性判断

当函数是单调的（始终递增或始终递减）时，它才是可逆的。对于三次函数 \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)，检查导数 \(3ax^2 + 2bx + c\) 的判别式为负：\(4b^2 - 12ac < 0\)。

无穷小量的阶

总是保留最低阶的项，忽略任何两个或多个无穷小量的乘积（\(df \cdot dg\)，\(dx^2\)，等等）。