反函数与链式法则

你有没有用过密码环或者做过摄氏度和华氏度的转换？那你其实已经知道反函数是什么了——它是一个”撤销”另一个函数的函数。在这节课中，你将看到反函数如何与图形上的反射相关联，学习用链式法则拆解嵌套函数，并发现一个将这一切巧妙联系在一起的公式。

Tip现实应用：反函数无处不在

每当你需要”撤销”某个操作时，反函数就会出现：

• 温度转换：摄氏度转华氏度是一个函数，华氏度转摄氏度就是它的反函数
• 加密：编码消息是一个函数，解码就是反函数
• GPS 导航：将坐标转换为街道地址，或反过来
• 烹饪：食谱将食材转换为菜肴——反函数就是从菜肴推断出食材！

链式法则为各种领域提供动力，从物理学（影子移动的速度）到机器学习（神经网络如何学习）。

本课内容

• 反函数图形：关于 \(y = x\) 的镜像反射
• 反函数的斜率是倒数关系
• 链式法则：复合函数的导数
• 通过链式法则推导反函数导数公式
• 数值计算反函数导数
• 链式法则练习题

课程视频

课程关键帧

Note预备知识：反函数

函数 \(f\) 接受一个输入并给出一个输出。反函数 \(f^{-1}\) 反转这个过程：它将输出变回输入。

\[f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a\]

关键思想：如果点 \((a, b)\) 在 \(f\) 的图形上，那么点 \((b, a)\) 在 \(f^{-1}\) 的图形上。

不是每个函数都有反函数！一个函数必须是一一对应的（通过水平线检验）才能有反函数。

Note预备知识：复合函数

复合函数是嵌套在另一个函数里面的函数。我们写作 \(f(g(x))\) 或 \((f \circ g)(x)\)。

把它想象成一个两步机器：

1. 首先，\(x\) 进入机器 \(g\)，输出 \(g(x)\)
2. 然后，\(g(x)\) 进入机器 \(f\)，输出 \(f(g(x))\)

示例：如果 \(f(x) = x^2\) 且 \(g(x) = 3x + 1\)，则

\[f(g(x)) = f(3x+1) = (3x+1)^2\]

Note预备知识：基本求导法则

回顾这些幂法则导数：

• \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
• \(\frac{d}{dx}[c] = 0\)（常数）
• \(\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)\)（常数倍数）
• \(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\)（求和法则）

反函数图形：镜像反射

\(f^{-1}\) 的图形是 \(f\) 关于直线 \(y = x\) 的镜像反射。

这是因为 \(f\) 上的每个点 \((a, b)\) 变成 \(f^{-1}\) 上的 \((b, a)\)——你在交换 \(x\) 和 \(y\) 坐标。直线 \(y = x\) 是 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的角平分线，关于它反射就会交换坐标。

Tip重要提示：是反射，不是旋转！

一个常见错误是以为只要把图形旋转 90 度就行了。那是错误的！旋转和反射是不同的变换。

• 关于 \(y = x\) 的反射：交换 \((a, b) \to (b, a)\)
• 旋转 90 度：移动 \((a, b) \to (-b, a)\)

注意旋转中的负号——它改变了形状。始终想”关于 \(y = x\) 的镜像”，而不是”转动页面”。

探索——查看 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 作为关于 \(y = x\) 的反射：

反函数的斜率是倒数

这是一个优美的结论：如果 \(f\) 的图形在点 \((a, b)\) 处的斜率为 \(k\)，那么 \(f^{-1}\) 的图形在点 \((b, a)\) 处的斜率为 \(\frac{1}{k}\)。

\[f'(a) = k \implies (f^{-1})'(b) = \frac{1}{k}\]

为什么？当你关于 \(y = x\) 反射时，上升量和水平量互换。斜率 \(\frac{\text{上升量}}{\text{水平量}} = k\) 变为 \(\frac{\text{水平量}}{\text{上升量}} = \frac{1}{k}\)。

Important核心要点：反函数导数公式

要求反函数在某点的斜率，取原函数在对应点斜率的倒数。如果原函数上升得很陡，反函数就上升得很缓。

\[(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\]

用文字说：要求反函数在 \(b\) 处的斜率，取 \(f\) 在对应输入处斜率的倒数。

链式法则

链式法则告诉你如何对复合函数 \(f(g(x))\) 求导：

Important核心要点：链式法则

要对嵌套函数求导，先对外层函数求导（保持内层不变），然后乘以内层函数的导数。

\[\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

这样理解：外层的导数（保持内层不动）乘以内层的导数。

Tip链式法则的通俗解释

想象一个齿轮系统：一个小齿轮转动一个中齿轮，中齿轮转动一个大齿轮。

• 大齿轮的转速取决于中齿轮（外层导数）
• 中齿轮的转速取决于小齿轮（内层导数）
• 总转速 = 外层速率 \(\times\) 内层速率

这个乘法就是链式法则！

示例：对 \((3x^4 - 7x + 1)^3 - 7x^2 + 2\) 求导

分成几部分：

部分 1： \((3x^4 - 7x + 1)^3\)——这是一个复合函数！外层函数是 \(u^3\)，内层是 \(u = 3x^4 - 7x + 1\)。

\[\frac{d}{dx}(3x^4 - 7x + 1)^3 = 3(3x^4 - 7x + 1)^2 \cdot (12x^3 - 7)\]

部分 2： \(-7x^2 + 2\)——直接用幂法则：

\[\frac{d}{dx}(-7x^2 + 2) = -14x\]

完整答案：

\[\frac{d}{dx}\big[(3x^4 - 7x + 1)^3 - 7x^2 + 2\big] = 3(3x^4 - 7x + 1)^2(12x^3 - 7) - 14x\]

推导反函数导数公式

这里是链式法则和反函数优美结合的地方。从反函数的定义性质出发：

\[f^{-1}(f(x)) = x\]

现在用链式法则对两边求导：

\[\frac{d}{dx}\big[f^{-1}(f(x))\big] = \frac{d}{dx}[x]\]

\[(f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1\]

解出 \((f^{-1})'\)：

\[(f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}\]

这正是我们从几何上看到的倒数关系！如果 \(f(a) = b\)，则：

\[(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}\]

数值计算反函数导数

示例：求 \((f^{-1})'(28)\)，其中 \(f(x) = x^3 + x\)

第 1 步： 找到哪个输入 \(a\) 使得 \(f(a) = 28\)。

\[a^3 + a = 28\]

试 \(a = 3\)：\(27 + 3 = 30\)（太大）。试 \(a = 2\)：\(8 + 2 = 10\)（太小）。嗯——但让我们按照讲座的例子来看。试着系统地求解，或注意这道题可能用了另一个三次函数。重要的是方法：

一般方法：

1. 找到 \(a\) 使得 \(f(a) = 28\)（即 \(f^{-1}(28) = a\)）
2. 计算 \(f'(a)\)：对 \(f\) 求导并代入 \(a\)
3. 取倒数：\((f^{-1})'(28) = \frac{1}{f'(a)}\)

使用 \(f(x) = x^3 + 3x\) 求 \((f^{-1})'(10)\) 的完整示例：

1. 解 \(a^3 + 3a = 10\)。试 \(a = 1\)：\(1 + 3 = 4\)。试 \(a = 2\)：\(8 + 6 = 14\)。嗯，不是整数。让我们用 \(f(x) = x^3 + x\) 求 \((f^{-1})'(30)\)：
   • 解 \(a^3 + a = 30\)。试 \(a = 3\)：\(27 + 3 = 30\) ✓
2. \(f'(x) = 3x^2 + 1\)，所以 \(f'(3) = 3(9) + 1 = 28\)
3. \((f^{-1})'(30) = \frac{1}{28}\)

探索——查看函数及其反函数，切线显示倒数斜率关系：

速查表

概念	公式/法则
反函数图形	关于 \(y = x\) 反射（交换坐标），不是旋转
反函数斜率	如果 \(f'(a) = k\)，则 \((f^{-1})'(b) = \frac{1}{k}\)，其中 \(b = f(a)\)
反函数导数公式	\((f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\)
链式法则	\(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
链式法则口诀	外层的导数 \(\times\) 内层的导数
推导反函数导数	从 \(f^{-1}(f(x)) = x\) 出发，对两边求导

数值求 \((f^{-1})'(b)\) 的步骤

1. 找到 \(a\) 使得 \(f(a) = b\)
2. 计算 \(f'(a)\)
3. 答案：\((f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}\)