最优化与曲线距离
本节课介绍如何利用导数求解最优化问题，包括最短距离、最低成本和最优设计等典型应用。
最优化旨在找到最佳方案——最短路径、最低成本设计或最快路线。
- GPS 导航：计算最短路线
- 物流仓储：在运输工具中实现最优装载
- 建筑工程：用最少的材料实现最大结构强度
- 计算机图形学：确定最优摄像机角度
微积分的优势在于：不必遍历所有可能性，而是通过导数直接定位最优解。
本课内容
- 最优化回顾：利用导数 = 0 求最大/最小值
- 用微积分证明 AM-GM 不等式
- 最小化从一个点到曲线的距离
- “最小化 \(D^2\) 而非 \(D\)”的技巧
- 手动求解三次方程
- 几何方法：最短距离线垂直于切线
- 由微分得到切向量和法向量
课程视频
课程关键帧
预备知识
最优化是指找到使函数取得最大值（极大）或最小值（极小）的输入值。
在微积分中，我们利用这样一个事实：在极大值或极小值处，导数等于零：
\[f'(x) = 0\]
原因在于导数衡量曲线的斜率。在极值点处，斜率为零，这正是微积分在最优化中的核心思想。
导数 \(f'(x)\) 表示变化率——即 \(f(x)\) 在任意点 \(x\) 处增加或减少的速度。
- \(f'(x) > 0\)：函数在上升（递增）
- \(f'(x) < 0\)：函数在下降（递减）
- \(f'(x) = 0\)：函数是平的（可能的极大值或极小值）
对于 \(f(x) = x^n\)，导数是 \(f'(x) = nx^{n-1}\)。例如，\(f(x) = x^2\) 给出 \(f'(x) = 2x\)。
两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 之间的距离是：
\[D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
这直接来自勾股定理——距离是一个直角三角形的斜边，两条直角边分别为 \((x_2 - x_1)\) 和 \((y_2 - y_1)\)。
核心概念
最优化回顾：令 \(f'(x) = 0\)
要找函数 \(f(x)\) 的最大值或最小值：
- 求导数 \(f'(x)\)
- 令 \(f'(x) = 0\) 并求解 \(x\)
- 检查它是极大值还是极小值（用二阶导数或检验附近的点）
用微积分证明 AM-GM 不等式
AM-GM 不等式说，对于正数 \(a\) 和 \(b\)：
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\]
算术平均数总是不小于几何平均数。可以用微积分来证明这一点。对于固定乘积 \(ab = P\)，需最小化 \(a + b = a + \frac{P}{a}\)：
\[f(a) = a + \frac{P}{a}\]
\[f'(a) = 1 - \frac{P}{a^2} = 0 \implies a^2 = P \implies a = \sqrt{P}\]
当 \(a = \sqrt{P}\) 时，\(b = \frac{P}{\sqrt{P}} = \sqrt{P} = a\)。因此和 \(a + b\) 在 \(a = b\) 时取得最小值——恰好对应 AM 等于 GM 的情形。
探索——看 \(a + \frac{P}{a}\) 如何在 \(a = \sqrt{P}\) 时取得最小值：
最小化从点到曲线的距离
问题： 找到抛物线 \(y = x^2\) 上离点 \(P(3, 1)\) 最近的点。
从 \(P(3,1)\) 到抛物线上一点 \((x, x^2)\) 的距离为：
\[D = \sqrt{(x - 3)^2 + (x^2 - 1)^2}\]
距离公式中的平方根会使导数的计算变得复杂。关键在于：\(D\) 取最小值时 \(D^2\) 也恰好取最小值（因为 \(D \geq 0\)，平方运算保持非负数的序关系）。
因此可以转而最小化：
\[D^2 = (x - 3)^2 + (x^2 - 1)^2\]
消除平方根后，导数的计算更为简洁。
由于距离总是非负的，使距离 \(D\) 最小的 \(x\) 值与使 \(D^2\) 最小的值相同。使用 \(D^2\) 可以消除平方根，使导数更容易计算。
\[D^2 = (x-3)^2 + (x^2-1)^2\]
求导并令其为零：
\[\frac{d(D^2)}{dx} = 2(x-3) + 2(x^2-1)(2x) = 0\]
\[2(x - 3) + 4x(x^2 - 1) = 0\]
\[(x - 3) + 2x(x^2 - 1) = 0\]
\[2x^3 - 2x + x - 3 = 0\]
\[2x^3 - x - 3 = 0\]
这是一个三次方程，需要进一步求解。
动画演示：在 y = x² 上寻找离 P(3,1) 最近的点
Optimization: Minimum Distance from P(3,1) to y=x²
探索——沿抛物线拖动点，观察距离的变化：
解三次方程 \(2x^3 - x - 3 = 0\)
首先，尝试有理根。检验 \(x = 1\)：\(2(1) - 1 - 3 = -2 \neq 0\)。检验 \(x = -1\)：\(-2 + 1 - 3 = -4 \neq 0\)。
尝试因式分解——实际上需要采用代换法。
代换法： 令 \(x = a + b\)。我们希望 \(a^3 + b^3\) 和 \(ab\) 能简化方程。利用韦达公式，我们可以将三次方程化为关于 \(a^3\) 和 \(b^3\) 的二次方程：
从 \(2x^3 - x - 3 = 0\)，除以 2：
\[x^3 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0\]
通过观察或数值方法，\(x = 1\) 不是解，但我们可以验证这个三次方程有一个实根在 \(x \approx 1.18\) 附近。
对于本课程来说，重要的收获是方法：代换 \(x = a + b\)，利用恒等式 \((a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3\)，通过匹配系数将三次方程转化为二次方程。
动画演示：导数符号分析——递增/递减区间及极值标记
Derivative Sign Analysis: f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1
几何方法：法线
存在一个简洁的几何方法：在曲线上的最近点处，从 \(P\) 到曲线的连线必须垂直于切线。
从外部点到曲线的最短路径总是以直角到达曲线。若以其他角度到达，则可沿曲线滑动以找到更近的点，因此该点并非最小值。
原因在于：如果从 \(P\) 到曲线的连线不是垂直到达曲线，则可以沿曲线微调以找到更近的点，因此该点并非最小值点。
- 切线：在某一点上”刚好触碰”曲线的直线，与曲线方向相同
- 法线：在该点与切线垂直（成直角）的直线
由微分得到切向量和法向量
对于抛物线 \(y = x^2\)，微分为：
\[dy = 2x \, dx\]
由此可得切线方向：在 \(x\) 方向移动 \(dx\) 会在 \(y\) 方向引起 \(dy = 2x \, dx\)。因此切向量为：
\[\vec{T} = (1, \; 2x)\]
要得到法向量（垂直于切线），我们交换并取反：
\[\vec{N} = (-2x, \; 1)\]
从 \(P(3,1)\) 到抛物线的最短距离线必须指向法线方向。在抛物线上的点 \((x_0, x_0^2)\) 处，指向 \(P\) 的方向为 \((3 - x_0, \; 1 - x_0^2)\)。要使其平行于 \(\vec{N} = (-2x_0, 1)\)：
\[\frac{3 - x_0}{-2x_0} = \frac{1 - x_0^2}{1}\]
由此得到与前面相同的三次方程——但这里是从几何角度而非纯代数方法推导的。
探索——查看抛物线上任意点处的切线和法线：
拖动 \(a\) 的滑块，直到法线（紫色）经过 \(P\)——此即最近点。
课后作业：椭圆距离问题
用几何方法找到椭圆 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) 上离给定外部点最近的点。
提示： 对于椭圆，微分为：
\[\frac{2x}{4}\,dx + 2y\,dy = 0 \implies \frac{x}{2}\,dx + 2y\,dy = 0\]
由此可得切向量为 \((2y, -\frac{x}{2})\)，法向量为 \((\frac{x}{2}, 2y)\)。按照与抛物线相同的方法，建立垂直条件即可。
速查表
| 目标 | 方法 |
|---|---|
| 求 \(f(x)\) 的极大值或极小值 | 解 \(f'(x) = 0\) |
| 最小化距离 | 最小化 \(D^2\)（避免平方根） |
| AM-GM 不等式 | \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)，等号在 \(a = b\) 时成立 |
| \(y = f(x)\) 的切向量 | \((1, \; f'(x))\) |
| \(y = f(x)\) 的法向量 | \((-f'(x), \; 1)\) |
| 曲线上的最近点 | 从外部点到曲线的连线必须垂直于切线 |
最优化步骤
\[\text{将 } D^2 \text{ 写成一个变量的函数} \;\longrightarrow\; \text{求导} \;\longrightarrow\; \text{令} = 0 \;\longrightarrow\; \text{求解}\]