椭圆与三维曲面上的优化

本节课讨论如何求曲线或曲面上离给定点最近的点。从二维的椭圆开始，然后推广到三维的椭球体。核心方法是一个关于垂直性的几何条件，它能将复杂的优化问题转化为可解的方程组。

Tip应用背景

寻找曲线或曲面上最近点的问题在多个领域中均有应用：

• GPS导航：定位道路上离当前位置最近的点
• 机器人技术：机械臂计算到弯曲表面的最近距离
• 计算机图形学：光线追踪求解光线与弯曲物体的交点
• 卫星轨道：计算椭圆轨道到空间站的最近距离

椭圆和椭球体是自然界中常见的形状——行星轨道、天体形态等均可用其建模。

本课内容

• 椭圆复习：圆心、轴、标准形式
• 优化：椭圆上离外部点最近的点
• 使用微分方程求法向量
• 几何直觉：法线必须指向外部点
• 建立和求解方程组
• 拓展到三维：椭球体和切平面
• 三维优化：椭球体上的最近点

课程视频

课程关键帧

预备知识

Note什么是椭圆？

椭圆是圆的推广形态，可以理解为在某一方向上被拉伸或压缩的圆。

以原点为中心的椭圆的标准形式为：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

• \(a\) = 宽度的一半（当 \(a > b\) 时为半长轴）
• \(b\) = 高度的一半（当 \(a > b\) 时为半短轴）

如果中心在 \((h, k)\) 而不是原点：

\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\]

Note什么是距离公式？

两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 之间的距离为：

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

这直接来自勾股定理。在三维空间中，两点 \((x_1, y_1, z_1)\) 和 \((x_2, y_2, z_2)\) 之间的距离为：

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Note什么是隐函数求导？

对于 \(x^2 + y^2 = 25\)（圆）这类方程，\(y\) 并非以”\(y = \dots\)“的显式形式给出。要求 \(\frac{dy}{dx}\)，需对方程两边关于 \(x\) 求导，将 \(y\) 视为 \(x\) 的隐函数：

\[2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]

这给出了曲线上任意一点处切线的斜率。

Note什么是法向量？

切线在某一点与曲线相切，沿曲线前进的方向延伸。法向量垂直于（成直角）切线。

如果切线的斜率为 \(m\)，则法线的斜率为 \(-\frac{1}{m}\)（负倒数）。

法向量指示曲面上某点处”直接向外”的方向。

核心概念

椭圆复习

我们的椭圆以 \((5, -3)\) 为中心，半长轴 \(a = 8\)（水平方向），半短轴 \(b = 6\)（垂直方向）：

\[\frac{(x - 5)^2}{64} + \frac{(y + 3)^2}{36} = 1\]

优化问题

目标：找到椭圆上离外部点 \(A = (20, 0)\) 最近的点 \(P = (x_0, y_0)\)。

我们要最小化距离：

\[d = \sqrt{(x_0 - 20)^2 + (y_0 - 0)^2}\]

约束条件是 \((x_0, y_0)\) 在椭圆上。

通过微分求法向量

对椭圆方程关于 \(x\) 进行隐函数求导：

\[\frac{2(x - 5)}{64} + \frac{2(y + 3)}{36}\cdot\frac{dy}{dx} = 0\]

化简：

\[\frac{x - 5}{32} + \frac{(y + 3)}{18}\cdot\frac{dy}{dx} = 0\]

所以椭圆上点 \((x_0, y_0)\) 处的切线斜率为：

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{18(x_0 - 5)}{32(y_0 + 3)}\]

\((x_0, y_0)\) 处的切线方向沿向量 \(\left(1, \; -\frac{18(x_0 - 5)}{32(y_0 + 3)}\right)\)，而在该点垂直于椭圆的法向量为：

Important核心要点：椭圆的法向量

法向量在椭圆的任意一点处”直接向外”指出，可以通过求椭圆方程的梯度得到。对于以 \((h, k)\) 为中心的椭圆，\((x_0, y_0)\) 处的法线正比于 \(\left(\frac{x_0 - h}{a^2}, \frac{y_0 - k}{b^2}\right)\)。

\[\vec{n} = \left(\frac{x_0 - 5}{32}, \;\frac{y_0 + 3}{18}\right)\]

动画演示：在椭圆上寻找离目标点最近的点

Closest Point on Ellipse to Target

Target X: 20 Target Y: 0

几何直觉

Important核心要点：最近点条件

在曲线上离外部点最近的点处，连接二者的线段必须垂直于曲线。若不垂直，则可沿曲线微调以找到更近的点。这意味着从最近点到目标点的方向必须与法向量完全一致。

在椭圆上离 \(A\) 最近的点 \(P\) 处，从 \(P\) 到 \(A\) 的连线必须垂直于椭圆——即沿法线方向。若不垂直，则可沿椭圆微调以找到更近的点。

这意味着向量 \(\overrightarrow{PA} = (20 - x_0, \; 0 - y_0)\) 必须平行于法向量 \(\vec{n}\)。

两个向量平行，当且仅当它们的分量成比例：

\[\frac{20 - x_0}{\frac{x_0 - 5}{32}} = \frac{-y_0}{\frac{y_0 + 3}{18}}\]

化简为：

\[\frac{32(20 - x_0)}{x_0 - 5} = \frac{-18\,y_0}{y_0 + 3}\]

建立方程组

我们现在有两个未知数（\(x_0\) 和 \(y_0\)）的两个方程：

方程1（点在椭圆上）： \[\frac{(x_0 - 5)^2}{64} + \frac{(y_0 + 3)^2}{36} = 1\]

方程2（法线平行于 \(\overrightarrow{PA}\)）： \[\frac{32(20 - x_0)}{x_0 - 5} = \frac{-18\,y_0}{y_0 + 3}\]

求解这个方程组（通过代入法或数值方法）即可得到最近点。

拖动滑块 \(t\) 使点 \(P\) 沿椭圆移动，观察距离的变化。

动画演示：距离函数的颜色编码网格

Distance Function Shown as Color-Coded Dots

Each dot shows the distance from that grid point to the target A. Darker blue = closer, darker red = farther. The ellipse boundary is overlaid.

Target X: 20 Target Y: 0

拓展到三维：椭球体

椭球体是椭圆的三维版本。我们考虑的椭球体为：

\[\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1\]

这是一个拉伸的球体：沿 \(x\) 轴半径为1，沿 \(y\) 轴半径为2，沿 \(z\) 轴半径为3。

三维中的切平面和法向量

对于由 \(F(x, y, z) = 0\) 定义的曲面，梯度 \(\nabla F\) 给出法向量。

令 \(F(x, y, z) = x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} - 1\)，椭球体上点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的梯度为：

\[\nabla F = \left(2x_0, \;\frac{y_0}{2}, \;\frac{2z_0}{9}\right)\]

去掉公因子2，法线方向为：

Important核心要点：梯度在任何维度都给出法线

对于由 \(F(x,y,z) = 0\) 定义的任何曲面，梯度 \(\nabla F\) 始终垂直于曲面。这是我们在二维中使用的法向量思想的三维版本，它在任何维度都适用。

\[\vec{n} = \left(x_0, \;\frac{y_0}{4}, \;\frac{z_0}{9}\right)\]

\((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面是在该点刚好与椭球体相切的平面，\(\vec{n}\) 从切平面直接向外指出。

三维优化：椭球体上的最近点

目标：找到椭球体上离 \(A = (5, 5, 5)\) 最近的点。

与二维的思路相同——在最近点处，从 \(P\) 到 \(A\) 的向量必须平行于法线：

\[\overrightarrow{PA} = (5 - x_0, \; 5 - y_0, \; 5 - z_0) \;\parallel\; \left(x_0, \;\frac{y_0}{4}, \;\frac{z_0}{9}\right)\]

这给出比例条件：

\[\frac{5 - x_0}{x_0} = \frac{5 - y_0}{\frac{y_0}{4}} = \frac{5 - z_0}{\frac{z_0}{9}}\]

结合椭球体方程 \(x_0^2 + \frac{y_0^2}{4} + \frac{z_0^2}{9} = 1\)，这是一个可以求解的方程组。

Tip三维情形的几何推理

几何论证与二维完全类似：若从曲面到外部点的连线不垂直于曲面，则可沿曲面微调以找到更近的点。在最近点处，不存在沿切面方向的改进空间——指向 \(A\) 的方向完全沿法线方向。

此原理在任意维度均成立。

速查表

目标	方法
椭圆标准形式	\(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)，中心 \((h,k)\)
椭圆在 \((x_0, y_0)\) 处的法线	\(\vec{n} = \left(\frac{x_0 - h}{a^2},\; \frac{y_0 - k}{b^2}\right)\)
最近点条件	\(\overrightarrow{PA} \parallel \vec{n}\)（法线指向目标点）
椭球体标准形式	\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
椭球体在 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的法线	\(\vec{n} = \left(\frac{x_0}{a^2},\; \frac{y_0}{b^2},\; \frac{z_0}{c^2}\right)\)
\((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面	\(\frac{x_0\,(x - x_0)}{a^2} + \frac{y_0\,(y - y_0)}{b^2} + \frac{z_0\,(z - z_0)}{c^2} = 0\)

优化步骤

1. 写出约束条件：点必须在曲线/曲面上
2. 求导以找到法向量
3. 建立等式：\(\overrightarrow{PA} \parallel \vec{n}\)（比例条件）
4. 求解方程组