自然常数 e 与二项式展开

如果银行不断地对你的利息再计利息，一次又一次，越来越快，会发生什么？你可能以为你的钱会无限增长，但它实际上会稳定在一个特殊的神奇数字：\(e \approx 2.71828\)。在这节课中，你将发现 \(e\) 的来源，学习解锁它的二项式展开技巧，并了解为什么 \(e\) 是所有数学中最重要的数字之一。

Tip现实应用：自然常数 e 从何而来？

想象你在银行账户里存了1美元，年利率为100%。如果银行每年计息一次，你会得到2美元。但如果他们每月计息呢？每天呢？每秒呢？当你的计息频率越来越高时，你最终得到的金额会越来越接近一个神秘的数字：\(e \approx 2.71828...\)。这个数字无处不在——在人口增长、放射性衰变，甚至社交媒体帖子传播中都能看到它。今天我们将看看它到底从哪里来，以及它为什么如此特殊。

本课内容

• 通过复利引出自然常数 \(e\)
• 极限 \(\left(1 + \frac{r}{k}\right)^k \to e^r\)（当 \(k \to \infty\)）
• 为什么 \(e^x\) 的导数是 \(e^x\) 本身——这是它的定义性质
• 二项式展开：\((a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n-i} \cdot b^{i}\)
• 组合数学复习：\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
• 互补性：\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
• 二项式系数中的规律如何引出 \(e\) 的极限定义

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课程关键帧

Note预备知识：指数运算法则

你应该熟悉基本的指数运算法则：

• \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \(a^0 = 1\)（对任意 \(a \neq 0\)）

这些法则对于理解 \((1 + r/k)^k\) 在 \(k\) 变化时的行为至关重要。

Note预备知识：阶乘

阶乘写作 \(n!\)，表示从1到 \(n\) 的所有正整数的乘积：

\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\]

例如：\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)。

按照约定，\(0! = 1\)。阶乘增长极快——\(10! = 3{,}628{,}800\) 已经超过三百万了。

自然常数 \(e\) 的起源：复利

假设你以100%年利率（\(r = 1\)）投资1美元。如果银行每年计息 \(k\) 次，每次计息的利率为 \(\frac{1}{k}\)，一年后你有：

\[A = \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k\]

让我们看看当 \(k\) 增大时会发生什么：

计息次数（\(k\)）	表达式	值
1（每年）	\((1 + 1)^1\)	\(2.000\)
2（每半年）	\((1 + 0.5)^2\)	\(2.250\)
12（每月）	\((1 + 1/12)^{12}\)	\(2.613...\)
365（每天）	\((1 + 1/365)^{365}\)	\(2.7146...\)
10,000	\((1 + 1/10000)^{10000}\)	\(2.71815...\)
\(\infty\)	\(\lim_{k \to \infty} (1 + 1/k)^k\)	\(e \approx 2.71828...\)

这个数不会趋向无穷大——它会稳定在特殊常数 \(e\)。

探索这个极限——使用滑块增大 \(k\)，观察值如何趋近 \(e\)：

Tip试试这个滑块

从 \(k = 1\) 开始慢慢增大。注意值多快就接近了 \(e\)——到 \(k = 100\) 时已经在几百分之一的范围内了。但它永远不会完全达到 \(e\)；它只是越来越接近。这就是极限的含义。

推广：利率 \(r\)

如果利率不是100%，而是某个一般利率 \(r\) 呢？那么 \(k\) 次计息后一年的金额为：

\[A = \left(1 + \frac{r}{k}\right)^k\]

当 \(k \to \infty\) 时，这趋近于 \(e^r\)：

\[\lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{r}{k}\right)^k = e^r\]

这是微积分中最重要的极限之一。但要证明它，我们需要一个强大的代数工具：二项式展开。

组合数学复习：\(n\) 选 \(k\)

在展开 \((a + b)^n\) 之前，我们需要二项式系数，读作”\(n\) 选 \(k\)“：

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

这计算的是从 \(n\) 个物品中选取 \(k\) 个的方法数，其中顺序无关紧要。

示例：从5个学生中选3个有多少种方法？

\[\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10\]

互补性：\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)

这是一个优美的事实：选择哪些物品拿走，等同于选择哪些物品留下。

\[\binom{100}{96} = \binom{100}{4}\]

想想看：从100人中选96人组成一个队伍，等同于选4个人不加入队伍。不用列出96个名字，你只需要列出4个不参加的人。方法数相同，但写起来简单多了！

这就是 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) 的原因——公式是对称的。

Tip为什么公式能证实这一点？

\[\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!\left(n-(n-k)\right)!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]

这与 \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) 完全相同，只是分母中的两个因子交换了位置。乘法满足交换律，所以它们相等。

二项式展开

现在介绍主要工具。二项式定理告诉我们：

Important核心要点：二项式定理

二项式定理让你将任何和的幂 \((a+b)^n\) 展开为各个项。它是驱动我们证明复利极限的代数引擎。

\[(a + b)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n-i} \cdot b^{i}\]

这意味着我们通过对所有选取若干个 \(b\) 和其余选 \(a\) 的方式求和来展开 \((a+b)^n\)。

示例：展开 \((a + b)^3\)

\[(a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \binom{3}{2}a b^2 + \binom{3}{3}b^3\]

\[= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

示例：展开 \((x + 1)^4\)

\[(x+1)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3 + \binom{4}{2}x^2 + \binom{4}{3}x + \binom{4}{4}\]

\[= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\]

注意系数 \(1, 4, 6, 4, 1\)——这是帕斯卡三角形的第4行。

二项式系数中的规律

当我们写出一般 \(n\) 的 \(\binom{n}{k}\) 时，会发现一些有用的东西。让我们写出前几个系数，分子有 \(k\) 个因子，分母为 \(k!\)：

\[\binom{n}{0} = 1, \qquad \binom{n}{1} = \frac{n}{1}, \qquad \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2!}, \qquad \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\]

规律：\(\binom{n}{k}\) 的分子恰好有 \(k\) 个因子（从 \(n\) 开始递减），分母为 \(k!\)。当我们代入 \(n = k\) 并令 \(k \to \infty\) 时，这种形式将至关重要。

构建极限：将二项式展开应用于 \((1 + r/k)^k\)

现在我们把所有知识联系起来。在二项式定理中令 \(a = 1\)，\(b = r/k\)，指数为 \(k\)：

\[\left(1 + \frac{r}{k}\right)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} \cdot 1^{k-i} \cdot \left(\frac{r}{k}\right)^i = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} \cdot \frac{r^i}{k^i}\]

用我们的规律写出前几项：

\[= 1 + \frac{k}{1} \cdot \frac{r}{k} + \frac{k(k-1)}{2!} \cdot \frac{r^2}{k^2} + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!} \cdot \frac{r^3}{k^3} + \cdots\]

\[= 1 + r + \frac{k(k-1)}{k^2} \cdot \frac{r^2}{2!} + \frac{k(k-1)(k-2)}{k^3} \cdot \frac{r^3}{3!} + \cdots\]

现在看每个分式，如 \(\frac{k(k-1)}{k^2}\)。当 \(k \to \infty\) 时：

\[\frac{k(k-1)}{k^2} = \frac{k}{k} \cdot \frac{k-1}{k} = 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \to 1\]

所以在极限中，每个这样的分式都变为1，我们得到：

Important核心要点：复利极限

当你进行无限频繁的复利计算时，结果是指数函数 \(e^r\)。这将一个简单的银行概念与数学中最重要的数字之一联系起来。

\[\lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{r}{k}\right)^k = 1 + r + \frac{r^2}{2!} + \frac{r^3}{3!} + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{r^i}{i!} = e^r\]

那个无穷级数就是 \(e^r\) 的泰勒级数——这就是复利如何引出自然常数 \(e\) 的。

为什么 \(e^x\) 的导数是 \(e^x\) 本身

这是使 \(e\) 真正特殊的性质。在所有可能的指数函数（\(2^x\)、\(3^x\)、\(10^x\)……）中，只有 \(e^x\) 的导数是它自身：

Important核心要点：\(e^x\) 是自身的导数

函数 \(e^x\) 是唯一一个在每一点处变化率都等于其函数值的指数函数。正是这个性质使得 \(e\) 成为微积分的”自然”底数。

\[\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\]

没有其他函数的增长率恰好等于其当前值。如果你有100个细菌，种群用 \(e^x\) 建模，那么此刻的增长率也是100。它越大，增长越快——增长率始终与大小完美匹配。

比较 \(e^x\) 与它的导数——它们是同一条曲线：

Tip试试这个滑块

调整 \(b\) 并注意，对于大多数底数，导数（虚线）与函数（实线）是不同的曲线。但将 \(b\) 设为 \(2.72\)（接近 \(e\)），它们几乎重合。只有在 \(b = e\) 时它们才完全一致。

速查表

概念	关键公式
\(e\) 的定义	\(e = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k \approx 2.71828\)
一般复利极限	\(\lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{r}{k}\right)^k = e^r\)
\(e^x\) 的导数	\(\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
二项式定理	\((a+b)^n = \displaystyle\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\,a^{n-i}\,b^{i}\)
二项式系数	\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
互补性	\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
\(e^r\) 的泰勒级数	\(e^r = \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{r^i}{i!} = 1 + r + \dfrac{r^2}{2!} + \dfrac{r^3}{3!} + \cdots\)