泰勒/麦克劳林级数与 ln(1+x) 的幂级数

本节课介绍如何通过逐项积分技巧将 \(\ln(1+x)\) 展开为幂级数，并利用麦克劳林系数公式直接读出任意阶导数值，而无需逐次求导。此外还将讨论正弦和余弦高阶导数的周期性。

Tip应用背景

幂级数将复杂函数表示为易于处理的无穷多项式。函数 \(\ln(1+x)\) 在多个领域有广泛应用：

• 计算机科学：算法复杂度分析中频繁使用对数，小 \(x\) 时 \(\ln(1+x)\) 的近似有助于估计运行时间
• 金融：当利率 \(r\) 较小时，\(\ln(1+r) \approx r\) 是常用的近似
• 物理学：传感器测量微小变化时，\(\ln(1+x) \approx x\)（\(x\) 较小）可显著简化计算
• 工程学：信号处理中使用对数级数分析音频和射频信号
• 生物学：种群模型中使用 \(\ln(1+\text{增长率})\) 预测种群变化

本节课从几何级数出发构建 \(\ln(1+x)\) 的幂级数，并展示如何利用麦克劳林级数直接求出高阶导数值。

本课内容

• 从欧拉公式推导 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的导数
• \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 高阶导数的周期性
• 几何级数 \(\frac{1}{1+x}\) 作为幂级数
• 逐项积分幂级数得到 \(\ln(1+x)\)
• 通过代入 \(x = 0\) 确定积分常数
• 麦克劳林系数：若 \(f(x) = \sum a_k x^k\)，则 \(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)
• 使用麦克劳林展开求高阶导数（如 \(\ln(1+x)\) 在 \(x = 0\) 处的第2025阶导数）
• 识别已知函数的导数：\(f'(x) = -\frac{1}{1+x}\) 对应 \(\ln(1+x)\) 的导数

课程视频

课程关键帧

预备知识

Note什么是欧拉公式？

欧拉公式使用虚数 \(i\)（其中 \(i^2 = -1\)）将指数函数与三角函数联系起来：

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

由此，我们可以通过观察 \(e^{i\theta}\) 的幂级数并分离实部和虚部来提取 \(\sin\) 和 \(\cos\)：

\[\cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots\]

\[\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots\]

这些幂级数使得逐项对 \(\sin\) 和 \(\cos\) 求导成为可能。

Note什么是几何级数？

几何级数是一个每一项都是前一项固定倍数的求和：

\[\sum_{k=0}^{\infty} r^k = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \quad \text{（当 } |r| < 1\text{）}\]

例如，当 \(r = \frac{1}{2}\) 时：\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2\)。

在这节课中，我们将用替换 \(r = -x\) 来得到 \(\frac{1}{1+x}\) 的级数。

Note什么是麦克劳林级数？

麦克劳林级数将函数表示为以 \(x = 0\) 为中心的无穷多项式：

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots\]

关键在于 \(x^n\) 的系数等于 \(\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)。若幂级数已知，则可直接读出函数在零点处的各阶导数值，而无需逐次求导。

Note什么是自然对数？

自然对数 \(\ln(x)\) 是 \(e^x\) 的反函数。它回答的问题是：“\(e\) 的几次方等于 \(x\)？”

关键事实：

• \(\ln(1) = 0\)，因为 \(e^0 = 1\)
• \(\ln(e) = 1\)，因为 \(e^1 = e\)
• \(\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}\)

所以根据链式法则，\(\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x}\)。

核心概念

从欧拉公式推导正弦和余弦的导数

上节课我们看到了 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的麦克劳林级数。通过逐项对这些级数求导，我们可以证明：

Important核心要点：正弦和余弦的导数

逐项对正弦和余弦的幂级数求导证明了这两个基本结果。注意余弦的负号——它的出现是因为当正弦为正时余弦在递减。

\[\boxed{\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x} \qquad \boxed{\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x}\]

为什么余弦有负号？ 对 \(\cos x\) 的级数求导：

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\]

\[\frac{d}{dx}(\cos x) = 0 - \frac{2x}{2!} + \frac{4x^3}{4!} - \frac{6x^5}{6!} + \cdots = -x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \cdots\]

这正好是 \(-\sin x\)。

探索——看看 \(\sin x\)、\(\cos x\) 及其导数：

拖动 \(a\) 的滑块，虚线表示 \(\sin x\) 的切线——其斜率始终等于 \(\cos(a)\)，即红色曲线的高度。

导数循环：正弦的高阶导数

反复对 \(\sin x\) 求导时，会出现周期性规律：

导数	结果
\(f(x) = \sin x\)	\(\sin x\)
\(f'(x)\)	\(\cos x\)
\(f''(x)\)	\(-\sin x\)
\(f'''(x)\)	\(-\cos x\)
\(f^{(4)}(x)\)	\(\sin x\)

经过4次求导后，回到 \(\sin x\)。这一循环不断重复：

\[\sin x \;\to\; \cos x \;\to\; -\sin x \;\to\; -\cos x \;\to\; \sin x \;\to\; \cdots\]

所以要求第 \(n\) 阶导数，只需将 \(n\) 除以4并看余数：

余数（\(n \bmod 4\)）	\(f^{(n)}(x)\)
0	\(\sin x\)
1	\(\cos x\)
2	\(-\sin x\)
3	\(-\cos x\)

例如，\(\sin x\) 的第100阶导数：\(100 \div 4 = 25\) 余 \(0\)，所以 \(f^{(100)}(x) = \sin x\)。

动画演示：泰勒多项式逐项逼近真实函数

Taylor Polynomials Building Up to the True Function

Watch successive Taylor polynomial terms appear, each improving the approximation.

Terms: 1 Function: e^x cos(x) sin(x)

几何级数作为幂级数

回顾几何级数公式：

\[\frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \quad \text{当 } |r| < 1\]

现在替换 \(r = -x\)：

\[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k\]

此展开在 \(|x| < 1\) 时成立，将 \(\frac{1}{1+x}\) 表示为了幂级数形式。

探索——看看级数的部分和如何逼近 \(\frac{1}{1+x}\)：

增大滑块 \(n\)，观察红色虚线曲线逐渐逼近蓝色曲线——但仅在 \(|x| < 1\) 的范围内。

从几何级数到 ln(1+x)

关键思路在于：已知 \(\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x}\)，因此对几何级数逐项积分即可得到 \(\ln(1+x)\)：

\[\int \frac{1}{1+x}\,dx = \int \left(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots\right) dx\]

\[= C + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\]

确定常数 \(C\)：代入 \(x = 0\)：

\[\ln(1+0) = C + 0 - 0 + 0 - \cdots\] \[\ln(1) = C\] \[0 = C\]

所以 \(C = 0\)，我们得到了这个优美的结果：

Important核心要点：ln(1+x) 的幂级数

通过逐项积分 \(\frac{1}{1+x}\) 的几何级数，将自然对数表示为无穷多项式。该级数使得仅用加减法和除法即可计算对数值。

\[\boxed{\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}\, x^k}{k}}\]

这在 \(-1 < x \le 1\) 时成立。

探索——看看 \(\ln(1+x)\) 的幂级数如何收敛：

增大 \(n\)，观察级数（红色虚线）如何越来越紧密地贴合真实的 \(\ln(1+x)\) 曲线（蓝色），特别是在 \(-1\) 和 \(1\) 之间。

动画演示：ln(1+x) 幂级数的部分和收敛过程

Partial Sums of ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ...

Watch partial sums accumulate term by term. Convergence occurs for |x| < 1.

Terms: 1 Eval at x: 0.50

识别已知函数的导数

假设已知 \(f'(x) = -\frac{1}{1+x}\)，需要求 \(f(x)\)。

可以观察到：

\[\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x}\]

所以 \(-\frac{1}{1+x}\) 是 \(-\ln(1+x)\) 的导数。因此：

\[f(x) = -\ln(1+x) + C\]

这种从导数”反向推导”原函数的方法，正是积分的基本思想。

匹配麦克劳林系数

以下是本课程中最核心的技巧之一。若函数具有麦克劳林级数：

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots\]

那么每个系数都与在零点处的导数有关：

Important核心要点：从幂级数读取导数

若函数的幂级数已知，则可直接求出在 \(x = 0\) 处的任意阶导数值，而无需实际求导——只需读出系数并乘以 \(n!\)。

\[\boxed{a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}\]

这意味着：已知幂级数即可自动得到在 \(x = 0\) 处的每一阶导数值。改写为：

\[f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n\]

不用求导就找到超高阶导数

下面展示该技巧的威力。考虑求 \(\ln(1+x)\) 在 \(x = 0\) 处的第2025阶导数。

手动对 \(\ln(1+x)\) 求导2025次显然不可行，但利用其幂级数：

\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\]

\(x^n\) 的系数为 \(a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)。

利用 \(f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n\)：

\[f^{(2025)}(0) = 2025! \cdot \frac{(-1)^{2026}}{2025} = 2025! \cdot \frac{1}{2025} = \frac{2025!}{2025} = 2024!\]

由此可得 \(\ln(1+x)\) 在 \(x = 0\) 处的第2025阶导数为 \(2024!\)，全过程无需进行任何实际求导。

为什么 \((-1)^{2026} = 1\)？ 因为2026是偶数，而 \((-1)^{\text{偶数}} = 1\)。

再试一个：\(\ln(1+x)\) 在 \(x = 0\) 处的第4阶导数：

\[f^{(4)}(0) = 4! \cdot \frac{(-1)^{5}}{4} = 24 \cdot \frac{-1}{4} = -6\]

可以通过直接对 \(\ln(1+x)\) 求四次导来验证——结果一致。

速查表

目标	公式
\(\sin x\) 的导数	\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
\(\cos x\) 的导数	\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
\(\sin\) 的导数循环	\(\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin\)（周期为4）
几何级数	\(\frac{1}{1+x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots\)
\(\ln(1+x)\) 的幂级数	\(\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)
麦克劳林系数公式	\(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)，所以 \(f^{(n)}(0) = n!\cdot a_n\)
积分常数技巧	积分后代入 \(x = 0\) 以求 \(C\)

核心思路链

\[\frac{1}{1+x} \;\xrightarrow{\text{积分}}\; \ln(1+x) \;\xrightarrow{\text{读出 } a_n}\; \frac{(-1)^{n+1}}{n} \;\xrightarrow{\;n!\cdot a_n\;}\; f^{(n)}(0)\]