三角函数的导数与 sin(x)/x 极限

正弦和余弦广泛出现于声波、过山车、海洋潮汐以及交流电等周期性现象中。本节课将通过三种不同的方法推导 \(\sin x\) 的导数为 \(\cos x\)，分析使之成立的关键极限，并阐明为什么弧度是唯一与微积分相容的角度度量方式。掌握这些概念后，即可运用它们分析任意周期运动。

Tip为什么三角函数的导数很重要

三角函数描述任何周期性重复的事物：

• 音乐：声波是正弦和余弦曲线，其导数描述气压的变化速率
• 过山车：轨道在任一点的坡度就是三角函数的导数
• 潮汐：海平面遵循类似正弦的规律，导数可用于确定潮水上涨最快的时刻
• 电力：家用交流电是正弦波——工程师需要它的导数来设计电路

\(\sin x\) 的导数为 \(\cos x\) 这一结论，是科学和工程中最常用的基本事实之一。

本课内容

• 利用单位圆几何推导 \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
• 几何推导 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
• 三角函数导数的三种方法：复指数、几何法和麦克劳林级数
• 基本极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
• 为什么弧度很重要（以及用角度制时会出什么问题）
• 有效数字与数值估计
• \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的麦克劳林展开

课程视频

课程关键帧

预备知识

Note什么是单位圆？

单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆。

单位圆上的任何一点都可以写成 \((\cos\theta, \sin\theta)\)，其中 \(\theta\) 是从正 \(x\) 轴逆时针测量的角度。

• \(\cos\theta\) 是水平（x）坐标
• \(\sin\theta\) 是垂直（y）坐标

这是角度和坐标之间的桥梁，也是本课所有内容的基础。

Note什么是弧度？

弧度是一种用圆的半径来度量角度的方式。

将圆的半径沿圆弧铺开，所对应的圆心角即为1弧度。

• 整圆 = \(2\pi\) 弧度（约6.28弧度）
• \(\pi\) 弧度 = \(180°\)
• 换算方法：角度乘以 \(\frac{\pi}{180}\)

为什么弧度对微积分很重要：公式 \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\) 只有当 \(x\) 用弧度表示时才成立。

Note什么是导数？

函数的导数刻画其变化率——当输入变化时，输出变化的快慢。

从几何上看，某一点处的导数就是该点处切线的斜率。

我们将其写作 \(\frac{d}{dx} f(x)\) 或 \(f'(x)\)。

Note什么是阶乘？

阶乘写作 \(n!\)，表示”从1到 \(n\) 的所有整数的乘积”。

• \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
• \(0! = 1\)（按定义）

阶乘增长极快，在级数展开中经常出现。

核心概念

Important核心要点：正弦的导数

\(\sin x\) 的导数是 \(\cos x\)。从几何上可以这样理解：当单位圆上的角度增加微小量时，纵坐标（正弦）的变化率等于横坐标（余弦）。

\[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]

几何推导：\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)

想象一个点在单位圆上移动。当角度 \(\theta\) 增加微小量 \(\Delta\theta\) 时：

1. 该点沿一段微小的弧移动，弧长为 \(\Delta\theta\)（因为半径 = 1，弧长 = 弧度角）
2. 对于非常小的角度，弧实际上就是一条直线段——弧 \(\approx\) 弦
3. 这个微小位移沿圆的切线方向，垂直于半径
4. 这个位移的垂直分量（\(\sin\theta\) 的变化量）为 \(\Delta\theta \cdot \cos\theta\)

所以：

\[\frac{\Delta(\sin\theta)}{\Delta\theta} \approx \cos\theta\]

在极限下：\(\frac{d}{d\theta}(\sin\theta) = \cos\theta\)

交互演示——观察 \(\sin\theta\) 如何随 \(\theta\) 变化：

Important核心要点：余弦的导数

\(\cos x\) 的导数是 \(-\sin x\)。负号是合理的：当 \(\sin x\) 为正（点在 x 轴上方）时，横坐标（余弦）在递减，所以其变化率为负。

\[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]

几何推导：\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)

同样的推理，但现在我们看水平分量：

1. 当 \(\theta\) 增加 \(\Delta\theta\) 时，微小位移沿圆的切线方向
2. 这个位移的水平分量为 \(-\Delta\theta \cdot \sin\theta\)（负号是因为在上半部分，\(\theta\) 增大时点向左移动）

\[\frac{d}{d\theta}(\cos\theta) = -\sin\theta\]

Tip为什么有负号？

考虑以下情形：当 \(\theta\) 在 \(0\) 和 \(\pi/2\) 之间时，点在向上且向左移动。因此 \(\sin\theta\) 在增加（正导数），而 \(\cos\theta\) 在减少（负导数）。\(-\sin\theta\) 恰好反映了这一点：在正弦为正的区域，余弦在递减。

Important核心要点：sin(x)/x 极限

对于小角度（弧度制），\(\sin x\) 几乎完全等于 \(x\) 本身。这个事实是使正弦的导数等于余弦的隐藏引擎，而且它只在 \(x\) 用弧度度量时才成立。

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

基本极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

这个极限是 \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\) 背后的隐藏引擎。

为什么它是对的？ 利用麦克劳林级数：

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\]

两边除以 \(x\)：

\[\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots\]

当 \(x \to 0\) 时，除第一项外所有项都趋于零，所以 \(\frac{\sin x}{x} \to 1\)。

交互演示——在 \(x = 0\) 附近放大观察：

动画演示：sin(x)/x 趋近于 1 的动态缩放

sin(x)/x Approaching 1 as x → 0

Press Play to zoom into x = 0 and watch the function value converge to 1.

Zoom level: 0%

动画演示：弧长与弦长——为什么 sin(θ)/θ → 1

Arc vs Chord: Why sin(θ)/θ → 1

As θ shrinks, the arc (green) and chord (red) become nearly identical — their ratio approaches 1.

θ (radians): 1.50

弧度 vs. 角度制：为什么弧度胜出

极限 \(\frac{\sin x}{x} \to 1\) 只有当 \(x\) 用弧度表示时才成立。

如果 \(x\) 用角度表示：

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin_{\text{deg}}(x)}{x} = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745\]

Tip数值示例：\(\frac{\sin(0.0047°)}{0.0047}\)

需要注意的是，若角度以度为单位，则必须先进行换算：

\[0.0047° = 0.0047 \times \frac{\pi}{180} \approx 8.203 \times 10^{-5} \text{ 弧度}\]

由于小弧度角时 \(\sin(\theta) \approx \theta\)：

\[\sin(0.0047°) \approx 8.203 \times 10^{-5}\]

所以 \(\frac{\sin(0.0047°)}{0.0047} \approx \frac{8.203 \times 10^{-5}}{0.0047} \approx 0.01745 = \frac{\pi}{180}\)

答案不是1——而是 \(\frac{\pi}{180}\)，因为我们除以的是角度值，而不是弧度值。

殊途同归

有三种完全不同的方法可以证明 \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)：

方法	核心思想
复指数法	将 \(\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\)，利用 \(\frac{d}{dx}e^{ix} = ie^{ix}\) 求导
几何法（单位圆）	小角度时弧 \(\approx\) 弦，投影到纵轴
麦克劳林级数法	逐项对 \(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\) 求导

三种方法给出相同结果，这为结论的正确性提供了有力的佐证。

正弦和余弦的麦克劳林级数

以下无穷级数使得仅用加法和乘法即可计算三角函数：

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^{2n}}{(2n)!}\]

Tip可以观察到以下规律

• \(\sin x\) 只有奇数次幂：\(x^1, x^3, x^5, \ldots\)
• \(\cos x\) 只有偶数次幂：\(x^0, x^2, x^4, \ldots\)
• 符号交替出现：\(+, -, +, -, \ldots\)
• 对 \(\sin x\) 的级数逐项求导，恰好得到 \(\cos x\) 的级数

交互演示——观察添加更多项如何逐步逼近真实曲线：

有效数字与数值估计

处理非常小的角度时：

• 当 \(x\)（弧度制）很小时，\(\sin x \approx x\)，\(x\) 越小近似越精确
• 可信赖的有效数字数量取决于 \(x\) 的大小
• 计算前应确认角度的单位是弧度还是角度

速查表

公式	备注
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)	\(x\) 必须用弧度
\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)	注意负号
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)	仅限弧度制
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin_{\text{deg}} x}{x} = \frac{\pi}{180}\)	角度制下
\(\sin x \approx x\)（\(x\) 较小时）	一阶近似

麦克劳林级数

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\]

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\]

角度制转弧度

\[\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}\]