tan 与 sec 的导数 —— 图形与代数方法

你是否想过，为什么有些函数比其他函数增长得快得多？今天我们将推导正切和正割的导数——这两个三角函数可以在一瞬间趋向无穷大。最酷的是什么？我们将用三种完全不同的方法证明同一个结论：代数方法、单位圆上的几何图形方法，以及复指数方法。学完之后，你会发现三条道路都通向同一个美丽的答案。

Tip为什么 tan 和 sec 的导数很重要

正切和正割函数在涉及斜率和伸缩的场景中无处不在：

• 导航：GPS 系统使用正切函数在角度和地图距离之间进行转换——它们的导数帮助实时修正航向
• 建筑：屋顶的坡度是一个正切比——导数告诉你坡度对角度变化有多敏感
• 光学：透镜以正切描述的角度折射光线——理解角度变化的速度是设计相机和望远镜的关键
• 过山车：在陡峭段，轨道角度大且正切增长快——其导数（sec²）告诉工程师斜率增加的速度有多快

一旦你知道了 sin 和 cos 的导数，tan 和 sec 的导数就水到渠成——今天我们将用三种不同的方法来证明它们！

本课内容

• 通过商法则求 \(\tan\theta = \sec^2\theta\) 的导数
• 在单位圆上对三角函数进行图形微分（小角度时弧 \(\approx\) 弦）
• 通过相似三角形求 \(\sec\theta = \sec\theta\cdot\tan\theta\) 的导数
• 复指数方法：用 \(e^{i\theta}\) 表示 \(\tan\theta\)
• 复指数表达式的长除法与化简
• 微分的幂展开：代入 \(\theta + d\theta\) 并保留一阶无穷小量

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课程关键帧

预备知识

Note什么是正切和正割？

正切是正弦与余弦的比值：

\[\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

正割是余弦的倒数：

\[\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}\]

在单位圆上，\(\tan\theta\) 是从 x 轴到半径线与 \((1, 0)\) 处的竖直切线交点之间的竖直线段长度。正割是从原点到该交点的距离。

Note什么是商法则？

商法则告诉你如何对两个函数的商求导：

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}\]

便于记忆的口诀：“下乘上导减上乘下导，除以下的平方。”

我们已经知道 \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\) 和 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)，所以我们拥有了对 \(\frac{\sin x}{\cos x}\) 求导所需的一切。

Note什么是复指数？

利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，我们可以将正弦和余弦写成：

\[\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}, \qquad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\]

这意味着我们也可以将正切写成指数的比值：

\[\tan\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}\]

复指数的强大之处在于 \(e^{i\theta}\) 的导数就是 \(ie^{i\theta}\)——不需要记忆符号变换！

Note“弧等于弦”对小角度意味着什么？

当一个点沿单位圆移动一个微小角度 \(d\theta\) 时，它描出一段长度为 \(d\theta\) 的小弧。

对于非常小的角度，这段弯曲的弧与连接两个端点的直线弦几乎无法区分。这就是关键的几何思想：

\[\text{弧} \approx \text{弦} \quad \text{当 } d\theta \text{ 很小时}\]

这个近似使得三角函数导数的几何证明成为可能。

Note什么是相似三角形？

如果两个三角形具有相同的角度（形状相同，大小可能不同），则它们是相似的。当三角形相似时，对应边的比值相等：

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\]

在本课中，我们使用在单位圆上将角度微调 \(d\theta\) 时出现的相似三角形。无穷小变化形成的小三角形与正割线和正切线构成的大三角形相似。

核心要点

通过商法则求 \(\tan\theta\) 的导数

因为 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)，我们令 \(f(\theta) = \sin\theta\) 和 \(g(\theta) = \cos\theta\) 应用商法则：

\[\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \frac{\cos\theta \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot (-\sin\theta)}{\cos^2\theta}\]

\[= \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}\]

Important核心要点：正切的导数

正切的导数是正割的平方。这由对 sin/cos 应用商法则得出，毕达哥拉斯恒等式承担了将分子化简为 1 的全部工作。

\[\boxed{\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \sec^2\theta}\]

探索——观察 \(\tan\theta\) 及其导数 \(\sec^2\theta\)：

拖动滑块 \(a\)。绿色虚线是 \(\tan x\)（蓝色）的切线，其斜率始终等于 \(\sec^2(a)\)（红色虚线曲线）。注意斜率始终至少为 1——\(\tan x\) 总是越来越陡！

单位圆上的图形推导

除了代数方法，我们还可以用图形推导 \(\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \sec^2\theta\)。

在单位圆上，画出角度 \(\theta\) 处的半径并延伸到 \(x = 1\) 处的竖直切线。该切线上的竖直截距高度为 \(\tan\theta\)，从原点到截距点的距离为 \(\sec\theta\)。

现在将 \(\theta\) 微调一个微小量 \(d\theta\)：

1. 半径旋转 \(d\theta\)，使截距点沿切线向上移动
2. 在截距点处形成的小三角形与边长为 \(1\)、\(\tan\theta\) 和 \(\sec\theta\) 的大三角形相似
3. 沿切线的微小位移为 \(\sec^2\theta \cdot d\theta\)
4. 该位移等于 \(d(\tan\theta)\)

因此 \(\frac{d(\tan\theta)}{d\theta} = \sec^2\theta\)——同样的答案，直接来自几何！

探索——观察 \(\tan\theta\) 和 \(\sec\theta\) 的单位圆构造：

拖动 \(\theta\)，观察正切高度（红色线段）和正割长度（紫色标签）的变化。注意当 \(\theta\) 趋近 \(\pm\frac{\pi}{2}\) 时，\(\tan\theta\) 增长得有多快！

通过相似三角形求 \(\sec\theta\) 的导数

我们要求 \(\frac{d}{d\theta}(\sec\theta)\)。利用同一幅单位圆图：

\(\sec\theta\) 是从原点到竖直切线上的点 \((1, \tan\theta)\) 的距离。

当 \(\theta\) 增加 \(d\theta\) 时，截距点沿切线移动。形成的小三角形与原来的直角三角形（两条直角边为 \(1\) 和 \(\tan\theta\)，斜边为 \(\sec\theta\)）相似。

由相似三角形，斜边的变化量（即 \(d(\sec\theta)\)）满足：

\[\frac{d(\sec\theta)}{\sec\theta \cdot d\theta} = \frac{\sec\theta}{1} \cdot \frac{\tan\theta}{\sec\theta}\]

整理得：

\[d(\sec\theta) = \sec\theta \cdot \tan\theta \cdot d\theta\]

Important核心要点：正割的导数

正割的导数是正割乘以正切。你可以用单位圆上的相似三角形进行几何证明，也可以用链式法则对 \((\cos\theta)^{-1}\) 进行代数证明。

\[\boxed{\frac{d}{d\theta}(\sec\theta) = \sec\theta \cdot \tan\theta}\]

Tip快速代数验证

我们可以用链式法则对 \(\sec\theta = (\cos\theta)^{-1}\) 进行验证：

\[\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)^{-1} = -1 \cdot (\cos\theta)^{-2} \cdot (-\sin\theta) = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \cdot \tan\theta \;\checkmark\]

用复指数方法求 \(\frac{d}{d\theta}(\tan\theta)\)

这里有一个巧妙的代数方法。用欧拉公式写出正切：

\[\tan\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}\]

为了求导，我们可以对这个表达式使用商法则。令 \(u = e^{i\theta} - e^{-i\theta}\)，\(v = i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\)。则：

\[u' = ie^{i\theta} + ie^{-i\theta} = i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\]

\[v' = i(ie^{i\theta} - ie^{-i\theta}) = i^2(e^{i\theta} - e^{-i\theta}) = -(e^{i\theta} - e^{-i\theta})\]

由商法则：

\[\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

\[= \frac{i(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \cdot i(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) - (e^{i\theta}-e^{-i\theta}) \cdot [-(e^{i\theta}-e^{-i\theta})]}{[i(e^{i\theta}+e^{-i\theta})]^2}\]

分子变为：

\[i^2(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^2 + (e^{i\theta}-e^{-i\theta})^2\]

\[= -(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^2 + (e^{i\theta}-e^{-i\theta})^2\]

展开两个平方：

\[= -(e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}) + (e^{2i\theta} - 2 + e^{-2i\theta}) = -4\]

分母为：

\[-\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^2 = -(2\cos\theta)^2 = -4\cos^2\theta\]

因此：

\[\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \frac{-4}{-4\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \;\checkmark\]

三种完全不同的方法——商法则、几何方法和复指数——都给出 \(\sec^2\theta\)。

复指数的长除法

在处理像 \(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}\) 这样的表达式时，你可以通过将分子和分母同除以 \(e^{-i\theta}\) 来化简：

\[\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} = \frac{e^{2i\theta} - 1}{e^{2i\theta} + 1}\]

你也可以令 \(w = e^{i\theta}\)，将所有内容转化为简洁的多项式形式的分数：

\[\tan\theta = \frac{w^2 - 1}{i(w^2 + 1)} \quad \text{其中 } w = e^{i\theta}\]

这种代换使商法则更加简洁，减少了出错的机会。关键技巧是选择好的代换来简化代数运算，然后再求导。

微分的幂展开

另一种方法是直接将 \(\theta + d\theta\) 代入函数，只保留一阶项（舍去含 \((d\theta)^2\) 或更高次的项）：

对于 \(\tan(\theta + d\theta)\)，回忆：

\[e^{i(\theta+d\theta)} = e^{i\theta} \cdot e^{i\,d\theta} \approx e^{i\theta}(1 + i\,d\theta)\]

因为当 \(d\theta\) 为无穷小量时 \(e^{i\,d\theta} \approx 1 + i\,d\theta\)。代入正切公式：

\[\tan(\theta + d\theta) \approx \frac{e^{i\theta}(1+i\,d\theta) - e^{-i\theta}(1-i\,d\theta)}{i\left[e^{i\theta}(1+i\,d\theta) + e^{-i\theta}(1-i\,d\theta)\right]}\]

展开分子：

\[(e^{i\theta} - e^{-i\theta}) + i\,d\theta\,(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\]

展开分母：

\[i\left[(e^{i\theta} + e^{-i\theta}) + i\,d\theta\,(e^{i\theta} - e^{-i\theta})\right]\]

经过仔细的代数运算（除法并舍去二阶项），结果为：

\[\tan(\theta + d\theta) - \tan\theta = \sec^2\theta \cdot d\theta\]

这种”无穷小代入”方法非常直观：你可以确切地看到导数的每一部分从何而来。

Tip为什么可以舍去 \((d\theta)^2\)？

无穷小量 \(d\theta\) 被认为是”小到其平方本质上为零”。更准确地说，当我们在 \(\frac{\Delta f}{d\theta}\) 中取 \(d\theta \to 0\) 的极限时，分子中含 \((d\theta)^2\) 的任何项在除以 \(d\theta\) 后贡献为 \(0\)。因此我们只需追踪一阶项——其他所有项都消失了。

探索——比较 \(\tan(x)\) 与其在某点的线性近似：

拖动 \(a\)，观察橙色切线（斜率 \(= \sec^2 a\)）如何在该点附近紧贴蓝色曲线。绿色虚线曲线是 \(\pm\sec x\)——它们构成了 \(\tan x\) 在其间振荡的”包络线”。

速查表

公式	记忆方法
\(\dfrac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \sec^2\theta\)	对 \(\frac{\sin}{\cos}\) 用商法则，然后用毕达哥拉斯恒等式
\(\dfrac{d}{d\theta}(\sec\theta) = \sec\theta\cdot\tan\theta\)	对 \((\cos\theta)^{-1}\) 用链式法则，或用相似三角形
\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)	SOH/CAH：对边比邻边
\(\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}\)	“正割” = 余弦的倒数
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)	毕达哥拉斯恒等式——\(\sec^2\theta\) 背后的引擎
\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)	将毕达哥拉斯恒等式两边除以 \(\cos^2\theta\)

复指数形式

\[\tan\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}\]

六个三角函数的导数（目前为止）

\[\frac{d}{d\theta}(\sin\theta) = \cos\theta \qquad \frac{d}{d\theta}(\cos\theta) = -\sin\theta\]

\[\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \sec^2\theta \qquad \frac{d}{d\theta}(\sec\theta) = \sec\theta\tan\theta\]

无穷小技巧

求 \(f(\theta)\) 的导数：

1. 用 \(e^{i\,d\theta} \approx 1 + i\,d\theta\) 计算 \(f(\theta + d\theta)\)
2. 减去 \(f(\theta)\)
3. 只保留含一个 \(d\theta\) 因子的项
4. 除以 \(d\theta\)——这就是你的导数！