利用已知展开求幂级数、几何级数与部分分式

如果你能把任何复杂的函数变成一个容易处理的无穷多项式呢？这正是幂级数的作用，今天你将学会像专家一样构建它们——不是通过计算大量导数，而是通过复用你已经知道的级数。我们还将学习部分分式分解，一种将复杂分式拆成易于处理的小块的技巧，以及一个能在几秒钟内找到系数的巧妙”遮盖技巧”。

Tip为什么幂级数和部分分式很重要

幂级数让你用简单的多项式替代复杂的函数，部分分式让你把复杂的分式拆成简单的部分：

• 计算机图形学：电子游戏用幂级数近似三角函数和对数函数，使 GPU 能在毫秒内渲染画面
• 医学：MRI 扫描仪使用从你身体测量的信号的级数展开来重建图像
• 金融：银行使用泰勒展开快速估算利率变动时债券价格的变化
• 机器人学：机械臂使用 arctan 展开将坐标实时转换为关节角度，从而计算逆运动学
• 音频工程：均衡器使用部分分式分解信号的传递函数，以理解每个频段的响应

本课内容

• 从已知级数推导幂展开：\(\ln(1+x)\)、\(\arctan x\)、\(\arcsin x\)
• 通过反函数证明 \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)
• 将 \(\frac{1}{1+x^2}\) 识别为几何级数：\(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\)
• 一般有理表达式如 \(\frac{1}{a + bx^n}\) 的幂展开
• 部分分式分解：将复杂分式拆成简单的、可用几何级数展开的部分
• 快速求部分分式系数的遮盖技巧

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课程关键帧

预备知识

Note什么是幂级数（泰勒展开）？

幂级数以 \(x = 0\) 为中心将函数写成无穷多项式：

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots\]

系数来自 \(f\) 在零处的导数：

\[a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\]

一旦你知道了幂级数，你就自动知道 \(f\) 在零处的每一个导数——反之亦然。

Note什么是几何级数？

几何级数是每一项都是前一项的固定倍数 \(r\) 的求和：

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1 - r} \qquad \text{当 } |r| < 1\]

例如，令 \(r = -x^2\)：

\[1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \frac{1}{1 + x^2}\]

识别几何级数可以省去每次做完整二项展开的麻烦。

Note什么是反函数？

如果 \(y = f(x)\)，则反函数 \(f^{-1}\) 将其逆转：\(x = f^{-1}(y)\)。

例如，\(y = \tan x\) 和 \(x = \arctan y\) 互为反函数。关键的导数关系是：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;}\]

因此如果你知道 \(\tan y\) 的导数，你可以通过取倒数来找到 \(\arctan x\) 的导数。

重要：反函数不满足算术分配律。例如，\(\arctan x \neq \frac{\arcsin x}{\arccos x}\)。你可以验证：\(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)，但 \(\frac{\arcsin(1)}{\arccos(1)} = \frac{\pi/2}{0}\)，这是未定义的！

Note什么是二项展开？

对于任意指数 \(n\)（包括负数和分数值），二项展开为：

\[(1 + u)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} u^k = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \cdots\]

当 \(n\) 是负整数时，这简化为几何级数。例如：

\[(1 + u)^{-1} = 1 - u + u^2 - u^3 + \cdots = \frac{1}{1+u}\]

Note什么是部分分式？

部分分式分解将一个复杂的有理函数拆成更简单的分式之和。例如：

\[\frac{x^2}{(2x-1)(x-1)} = \frac{1}{2} + \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1}\]

每个简单分式的分母是一次式，这意味着每一个都可以展开为几何级数。这是一种强大的积分技巧，也可用于求有理函数的幂级数。

核心要点

从已知级数构建幂级数

我们很少通过计算高阶导数来找幂级数。相反，我们利用微分和积分在已知展开的基础上构建。

策略：如果一个函数的导数有已知的幂展开，逐项积分这个级数就能恢复原函数的展开。

目标函数	先求导	将导数识别为…
\(\ln(1+x)\)	\(\frac{1}{1+x}\)	\(r = -x\) 的几何级数
\(\arctan x\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(r = -x^2\) 的几何级数
\(\arcsin x\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	二项展开 \((1-x^2)^{-1/2}\)

通过反函数求 \(\arctan x\) 的导数

令 \(y = \arctan x\)。则 \(x = \tan y\)，我们对较简单的一边求导：

\[\frac{dx}{dy} = \sec^2 y\]

我们用商法则对 \(\frac{\sin y}{\cos y}\) 证明了 \(\frac{d}{dy}(\tan y) = \sec^2 y\)：

\[\frac{d}{dy}\!\left(\frac{\sin y}{\cos y}\right) = \frac{\cos y \cdot \cos y - \sin y \cdot (-\sin y)}{\cos^2 y} = \frac{\cos^2 y + \sin^2 y}{\cos^2 y} = \sec^2 y\]

现在取倒数得到 \(\frac{dy}{dx}\)，并用 \(x\) 重新表达：

\[\frac{dy}{dx} = \cos^2 y\]

利用恒等式 \(1 + \tan^2 y = \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}\)，我们得到 \(\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y}\)。

由于 \(\tan y = x\)：

Important核心要点：反正切的导数

要求这个导数，写 \(x = \tan y\)，对简单的一边求导得到 \(\sec^2 y\)，翻转它，然后用 \(\tan y = x\) 重写。结果是一个简洁的有理函数，同时也是一个几何级数。

\[\boxed{\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}}\]

探索——观察 \(\arctan x\) 及其导数 \(\frac{1}{1+x^2}\)：

拖动滑块 \(a\)。绿色虚线切线的斜率为 \(\frac{1}{1+a^2}\)（红色曲线）。注意斜率在 \(a = 0\) 时最大，随 \(|a|\) 增大而减小——\(\arctan x\) 向其水平渐近线 \(\pm\frac{\pi}{2}\) 逐渐变平。

通过几何级数求 \(\arctan x\) 的幂展开

由于 \(\frac{1}{1+x^2}\) 是公比 \(r = -x^2\) 的几何级数：

\[\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \qquad (|x| < 1)\]

逐项积分以恢复 \(\arctan x\)（利用 \(\arctan(0) = 0\)）：

Important核心要点：反正切的幂级数（莱布尼茨公式）

对几何级数 \(\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots\) 逐项积分就得到这个优雅的级数。代入 \(x = 1\) 就得到一个著名的 \(\pi/4\) 公式。

\[\boxed{\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots}\]

这个美丽的结果称为莱布尼茨公式。代入 \(x = 1\) 得到著名的恒等式：

\[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\]

识别伪装的几何级数

许多幂展开只不过是伪装的几何级数 \(\frac{1}{1-r}\)。技巧是强行将表达式转化为 \(\frac{1}{1 - (\text{某项})}\) 的形式。

示例 1：展开 \(\dfrac{1}{2 - 3x^2}\)。

提取常数以在分母中创造前导 \(1\)：

\[\frac{1}{2 - 3x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{2}x^2}\]

现在应用公比 \(r = \frac{3}{2}x^2\) 的几何级数：

\[= \frac{1}{2}\!\left(1 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{4}x^4 + \frac{27}{8}x^6 + \cdots\right)\]

\[= \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x^2 + \frac{9}{8}x^4 + \frac{27}{16}x^6 + \cdots\]

示例 2：展开 \(\dfrac{a}{b - cx^3}\)。

从分母中提取 \(b\)：

\[\frac{a}{b - cx^3} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1 - \frac{c}{b}x^3}\]

应用公比 \(r = \frac{c}{b}x^3\) 的几何级数：

\[= \frac{a}{b}\!\left(1 + \frac{c}{b}x^3 + \frac{c^2}{b^2}x^6 + \frac{c^3}{b^3}x^9 + \cdots\right)\]

探索——比较有理函数与其几何级数近似：

拖动滑块 \(n\) 以添加更多项。观察红色虚线近似在收敛半径 \(|x| < \sqrt{2/3} \approx 0.82\) 内如何更紧密地贴合蓝色曲线。

部分分式分解

当分母可以分解为一次因式时，我们可以将分式分解为更简单的部分，每个部分都可以展开为几何级数。

示例：将 \(\dfrac{x^2}{2x^2 - 3x + 1}\) 展开为幂级数。

第一步——检查次数。 分子是 2 次，分母也是 2 次，所以这不是真分式。当 \(x \to \infty\) 时，函数趋近于 \(\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}\)。所以我们先提取多项式部分：

\[\frac{x^2}{2x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{2} + \frac{\text{余式}}{2x^2 - 3x + 1}\]

第二步——分解分母。

\[2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)\]

第三步——设置部分分式。 提取 \(\frac{1}{2}\) 后，写成：

\[\frac{x^2}{(2x-1)(x-1)} = \frac{1}{2} + \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1}\]

第四步——求系数，通过通分并比较同类项。两边乘以 \((2x-1)(x-1)\)：

\[x^2 - \tfrac{1}{2}(2x-1)(x-1) = A(x-1) + B(2x-1)\]

左边化简为 \(x^2 - \tfrac{1}{2}(2x^2 - 3x + 1) = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{1}{2}\)。比较 \(x\) 的系数和常数项得到：

\[A + 2B = \tfrac{3}{2}, \qquad -A - B = -\tfrac{1}{2}\]

解得：\(B = 1\)，\(A = -\tfrac{1}{2}\)。

\[\frac{x^2}{(2x-1)(x-1)} = \frac{1}{2} - \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1}{x-1}\]

第五步——将每个分式展开为几何级数：

\[\frac{1}{2x - 1} = \frac{-1}{1 - 2x} = -(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots)\]

\[\frac{1}{x - 1} = \frac{-1}{1 - x} = -(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)\]

将所有部分组合起来即得原函数的完整幂级数。

部分分式的遮盖技巧

通过通分和比较系数来求 \(A\) 和 \(B\) 很繁琐。这里有一种巧妙选择 \(x\) 值的更快方法。

求 \(B\)：选择 \(x\) 使因子 \((x - 1)\) 消失，即令 \(x = 1\)。这样 \(A\) 项有一个有限值，而我们实际上是在”遮盖”\((x-1)\) 因子：

\[B = \left.\frac{x^2 - \frac{1}{2}(2x-1)(x-1)}{2x - 1}\right|_{x=1} = \frac{\frac{3}{2}(1) - \frac{1}{2}}{2(1)-1} = 1\]

求 \(A\)：令 \(x = \frac{1}{2}\) 使 \((2x - 1)\) 消失：

\[A = \left.\frac{x^2 - \frac{1}{2}(2x-1)(x-1)}{x - 1}\right|_{x=1/2} = \frac{\frac{3}{2}\!\cdot\!\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1/4}{-1/2} = -\frac{1}{2}\]

思路是：选择一个使某个分母为零的 \(x\) 值，这样就只剩下一个未知数。不需要解方程组！

探索——观察部分分式如何分解有理函数：

蓝色曲线是原函数。红色和绿色虚线曲线是部分分式的各个部分。灰色虚线标示 \(x = \frac{1}{2}\) 和 \(x = 1\) 处的竖直渐近线；紫色虚线标示 \(y = \frac{1}{2}\) 处的水平渐近线。

\(\ln(1+x)\) 和 \(\arcsin x\) 的幂展开

为完整起见，以下是课堂上讨论的用同样的”求导、展开、积分”策略构建的另外两个展开：

自然对数：由于 \(\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots\)，积分得到：

\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\]

反正弦：由于 \(\frac{d}{dx}\arcsin x = (1 - x^2)^{-1/2}\)，我们使用二项展开：

\[(1-x^2)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \frac{5}{16}x^6 + \cdots\]

逐项积分：

\[\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{5x^7}{112} + \cdots\]

注意 \(\arcsin x\) 在 \(x = 0\) 处的所有偶数阶导数都为零（只出现奇数次幂），这在幂级数中一目了然。

速查表

公式	核心思想
\(\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}\)	写 \(x = \tan y\)，求导，取倒数
\(\dfrac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots\)	几何级数（\(\lvert r\rvert < 1\) 时有效）
\(\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots\)	对 \(\frac{1}{1+x^2}\) 的几何级数积分
\(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots\)	对 \(\frac{1}{1+x}\) 的几何级数积分

几何级数转换方法

要展开 \(\dfrac{1}{a + bx^n}\)：

1. 提取 \(a\)：\(\;\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{1 + \frac{b}{a}x^n}\)
2. 确定 \(r = -\dfrac{b}{a}x^n\) 并应用 \(\dfrac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + \cdots\)

部分分式步骤

1. 如果分子的次数 \(\geq\) 分母的次数，先做多项式长除法
2. 分解分母为一次因式
3. 写成 \(\dfrac{A}{(\text{因子}_1)} + \dfrac{B}{(\text{因子}_2)} + \cdots\)
4. 用遮盖技巧求 \(A, B, \ldots\)：代入每个因子的根以逐一分离未知数
5. 将每个简单分式展开为几何级数

遮盖技巧

要求给定一次因子的系数，令 \(x\) 等于该因子的根。这会使所有其他部分分式项归零，只留下你要求的那一项。不需要解方程组！