相关变化率：用导数连接变化的量

Published

October 13, 2025

你有没有想过，即使两辆车都没有直接朝对方开去，它们之间的距离变化有多快？在这节课中，你将学习一种叫做”相关变化率”的强大方法，它能让你通过导数把不同的变化量联系在一起。这就像解一个拼图：知道一个速度就能算出另一个——而这一切都来自你已经学过的勾股定理和链式法则！

当两个或多个量同时变化并且通过方程联系在一起时，相关变化率问题就会出现：

  • 交通安全：工程师计算两辆车在十字路口靠近的速度，以设计更安全的交通灯
  • 医学：当药物在体内扩散时，医生用相关变化率来预测血液中浓度变化的速度
  • 水池注水：如果水以恒定速率流入，相关变化率可以告诉你水位上升的速度——尤其是当水池底部有坡度时
  • 影子：当你远离路灯行走时，你的影子会变长——相关变化率可以精确预测变长的速度
  • 气象气球：当气球升空时，雷达站跟踪仰角——相关变化率将气球的高度与仰角变化的速度联系起来

这些都是知道一个变化率就能算出另一个变化率的情况。

本课内容

  • 什么是变化率：一个量相对于另一个量的变化
  • 什么是相关变化率：多个变量同时变化，通过方程联系在一起
  • 利用勾股定理建立相关变化率问题：\(C^2 = A^2 + B^2\)
  • 应用链式法则对时间 \(t\) 求导
  • 经典的两车交叉路口问题（3-4-5 直角三角形）
  • 在实际情境中解释 \(\frac{dA}{dt}\)、\(\frac{dB}{dt}\) 和 \(\frac{dC}{dt}\)

课程视频

课程关键帧

预备知识

变化率告诉你一个量相对于另一个量变化的快慢。

  • 速度是一种变化率：距离除以时间，例如 \(60 \text{ mph}\)
  • 生长率：每年的身高增长
  • 用微积分符号表示，如果 \(y\) 依赖于 \(t\)，变化率就是 \(\frac{dy}{dt}\)

变化率总是”某个量除以某个量”。如果一辆车在 2 小时内行驶了 120 英里，它的速率就是 \(\frac{120}{2} = 60\) 英里每小时。

函数的导数告诉你它的瞬时变化率——在某一时刻输出变化的速度。

我们把它写成 \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\)。

例如，如果 \(y = x^2\)，那么 \(\frac{dy}{dx} = 2x\)，这意味着在 \(x = 3\) 时，函数以每单位 \(x\) 变化 \(6\) 单位 \(y\) 的速率在变化。

链式法则让你对复合函数求导。如果 \(y\) 依赖于 \(u\)，而 \(u\) 依赖于 \(x\)，那么：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

在相关变化率中，所有量都随时间 \(t\) 变化。所以如果 \(C^2 = A^2 + B^2\)，而 \(A\) 和 \(B\) 都随时间变化，你就用链式法则对每一项关于 \(t\) 求导。

对于任何直角三角形，设两条直角边为 \(a\) 和 \(b\)，斜边为 \(c\)：

\[a^2 + b^2 = c^2\]

你应该记住的特殊直角三角形：

  • 3-4-5：\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
  • 5-12-13：\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)

这些比例可以缩放：300-400-500 三角形就是 3-4-5 三角形乘以 100。

有时你无法将 \(y\) 用 \(x\) 的显式公式表达。隐函数求导让你可以直接对等式两边求导。

例如，给定 \(x^2 + y^2 = 25\)，对两边关于 \(x\) 求导：

\[2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]

在相关变化率问题中，你做的是同样的事情，只不过是关于时间 \(t\) 求导。

核心要点

什么是变化率？

变化率是一个量相对于另一个量变化的比率：

\[\text{变化率} = \frac{\Delta(\text{输出})}{\Delta(\text{输入})}\]

在微积分中，我们通过求导使其成为瞬时的。如果汽车的位置是 \(s(t)\)，它的速度是：

\[v(t) = \frac{ds}{dt}\]

什么是相关变化率？

相关变化率问题涉及两个或更多满足以下条件的量：

  1. 每个量都随时间变化
  2. 它们通过一个已知方程联系在一起

因为它们是关联的，知道一个量的变化率就能求出另一个量的变化率。

一般策略是：

  1. 画图并用变量标注所有变化的量
  2. 写出方程将这些变量联系起来（勾股定理、面积公式、相似三角形等）
  3. 对两边关于时间 \(t\) 求导，使用链式法则
  4. 代入所有已知值，求解未知变化率

两车交叉路口问题

这是课堂上的经典问题。两辆车驶向一个十字路口：

  • 车 A 在交叉路口以东 \(500\) 米处，向北行驶
  • 车 B 在交叉路口以北 \(375\) 米处
  • 车 A 的速度为 \(60\) mph，朝交叉路口行驶

它们的位置形成一个直角三角形，两车之间的距离是斜边。

探索两辆车的位置如何构成直角三角形：

建立方程

设 \(A(t)\) 为车 A 到交叉路口的水平距离，\(B(t)\) 为车 B 的竖直距离。两车之间的距离 \(C(t)\) 满足：

\[C^2 = A^2 + B^2\]

这就是勾股定理——将变量关联在一起的关键方程。

对时间求导

现在对两边同时应用 \(\frac{d}{dt}\)。每个变量都依赖于 \(t\)，所以我们使用链式法则：

\[\frac{d}{dt}\left(C^2\right) = \frac{d}{dt}\left(A^2\right) + \frac{d}{dt}\left(B^2\right)\]

\[2C \,\frac{dC}{dt} = 2A \,\frac{dA}{dt} + 2B \,\frac{dB}{dt}\]

两边同除以 \(2\)：

Important核心要点：直角三角形的相关变化率方程

当两个距离构成直角三角形的两条直角边，且所有量都随时间变化时，你可以通过对勾股定理求导将三个变化率联系在一起。这个方程是解决所有直角三角形相关变化率问题的基础。

\[\boxed{C \,\frac{dC}{dt} = A \,\frac{dA}{dt} + B \,\frac{dB}{dt}}\]

这就是相关变化率方程。它将三个变化率 \(\frac{dA}{dt}\)、\(\frac{dB}{dt}\) 和 \(\frac{dC}{dt}\) 联系在一起。

求解未知变化率

假设在所求的时刻：

  • \(A = 500\) 米，\(B = 375\) 米
  • 注意 \(500 : 375 = 4 : 3\)，所以这是一个按比例放大的 3-4-5 直角三角形
  • 因此 \(C = \sqrt{500^2 + 375^2} = \sqrt{250000 + 140625} = \sqrt{390625} = 625\) 米（即 \(5 \times 125\)）
  • 车 A 以 \(60\) mph 驶向交叉路口，所以 \(\frac{dA}{dt} = -60\)（负号是因为 \(A\) 在减小）

如果我们要求 \(\frac{dC}{dt}\)（两车之间距离变化的速度），代入：

\[625 \cdot \frac{dC}{dt} = 500 \cdot (-60) + 375 \cdot \frac{dB}{dt}\]

已知 \(\frac{dB}{dt}\)（车 B 的速度）后，就可以求解 \(\frac{dC}{dt}\)。

当一辆车驶向交叉路口时，它与交叉路口的距离在减小。减小的量具有负的导数。所以如果车 A 以 60 mph 靠近，我们写 \(\frac{dA}{dt} = -60\)。

正确判断正负号是相关变化率中最棘手的部分之一。始终问自己：“这个距离是在变大还是变小？”

相关变化率的一般策略

以下是你可以用于任何相关变化率问题的逐步方法：

步骤 操作
1 画图并用变量标注每个变化的量
2 确定你知道哪些变化率，需要求哪个变化率
3 写出方程将变量联系起来（几何、物理等）
4 用链式法则对两边关于 \(t\) 求导
5 在特定时刻代入所有已知值
6 求解未知变化率
  • 过早代入数值：先求导，再代入数值。如果你在求 \(\frac{d}{dt}\) 之前就代入 \(A = 500\)，你会完全失去 \(\frac{dA}{dt}\) 这一项，因为常数的导数为零。
  • 忘记链式法则：每个随时间变化的变量在求导时都需要一个 \(\frac{d(\cdot)}{dt}\)。
  • 符号错误：减小的量具有负的变化率。始终检查每个距离或度量是在增大还是减小。

可视化 \(C\) 随时间的变化

观察当车 A 以恒定速度驶向交叉路口时（车 B 静止），斜边 \(C\) 如何变化：

注意 \(C(t)\) 不是直线，尽管 \(A(t)\) 是线性递减的。这是因为 \(C = \sqrt{A^2 + B^2}\) 是 \(A\) 的非线性函数。变化率 \(\frac{dC}{dt}\) 本身也在随时间变化——这就是为什么我们必须指定在哪个时刻来计算它。

另一个经典示例：扩展的圆

许多相关变化率问题涉及几何。假设一块石头落入池塘，产生一个圆形波纹，其半径 \(r\) 以恒定速率增加：

\[\frac{dr}{dt} = 2 \text{ m/s}\]

当 \(r = 10\) 米时，面积增加的速度是多少？

第一步 — 写出面积和半径的关系方程：

\[A = \pi r^2\]

第二步 — 对两边关于 \(t\) 求导：

Important核心要点：圆面积的变化率

如果一个圆的半径在增长，它的面积增长得越来越快，因为面积公式是非线性的。对 \(A = \pi r^2\) 求导，可以直接把半径的变化率和面积的变化率联系起来。

\[\frac{dA}{dt} = 2\pi r \,\frac{dr}{dt}\]

第三步 — 代入 \(r = 10\) 和 \(\frac{dr}{dt} = 2\)：

\[\frac{dA}{dt} = 2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7 \text{ m}^2/\text{s}\]

尽管半径以恒定速率增长，面积却增长得越来越快，因为 \(\frac{dA}{dt}\) 取决于 \(r\)，而 \(r\) 在增大。

速查表

公式 使用场景
\(C^2 = A^2 + B^2\) 直角三角形中的距离关系
\(2C\frac{dC}{dt} = 2A\frac{dA}{dt} + 2B\frac{dB}{dt}\) 勾股定理相关变化率
\(A = \pi r^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}\) 扩大/缩小的圆
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\) 扩大/缩小的球体
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) 圆锥注水问题

相关变化率策略

  1. 画图并用变量标注
  2. 写出一个联系变量的方程
  3. 对每一项关于 \(t\) 求导（链式法则）
  4. 求导之后再代入已知值
  5. 求解未知变化率

符号规则

  • 距离减小 \(\implies\) \(\frac{d(\cdot)}{dt} < 0\)
  • 距离增大 \(\implies\) \(\frac{d(\cdot)}{dt} > 0\)
  • 始终在图中定义正方向