相关变化率：距离、影子与速度分解

在这节课中，你将从头到尾解决真实的相关变化率问题——两辆车在十字路口、一艘船被拉向悬崖，甚至你远离路灯行走时影子移动的速度之谜。在此过程中，你将发现一个来自物理学的巧妙方法——“速度分解”，有时它能让你完全跳过代数运算。学完之后，你将掌握一套适用于任何相关变化率问题的可靠步骤。

Tip为什么相关变化率很重要

相关变化率问题的核心是：“如果一个量在变化，那么与之相关的另一个量变化有多快？”这在现实世界中经常出现：

• 导航：空中交通管制员跟踪两架飞机之间距离变化的速度，以防止碰撞
• 建筑：工程师计算影子移动的速度，以规划建筑和体育场的照明
• 救援行动：海岸警卫队计算收绳的速度，以便以合适的速度将船拉到岸边
• 医学：医生根据静脉输液速率来建模血液中药物浓度变化的速度
• 体育：教练分析接力赛中两名跑者之间差距缩小的速度

今天我们将用微积分（隐函数求导）和物理学（速度分解）两种方法来解决几个经典的相关变化率问题。

本课内容

• 建立相关变化率问题：确定变量、已知变化率和所求变化率
• 用勾股定理 \(s^2 = x^2 + y^2\) 来关联距离
• 对隐函数方程求微分：\(s\,ds = x\,dx + y\,dy\)
• 除以 \(dt\) 将微分转化为变化率
• 两车在十字路口：由 \(\dfrac{dx}{dt}\) 和 \(\dfrac{dy}{dt}\) 求 \(\dfrac{ds}{dt}\)
• 速度分解：将运动投影到径向方向
• 船与悬崖问题：收回连接船的绳索
• 用相似三角形建立影子问题中的变量关系
• 区分问题中的变量与常量

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课程关键帧

预备知识

Note什么是隐函数求导？

当你有一个方程如 \(x^2 + y^2 = s^2\)，且 \(x\)、\(y\) 和 \(s\) 都依赖于时间 \(t\) 时，你不能简单地”对 \(x\) 求导”。相反，你对每一项关于其自身变量取微分：

\[2x\,dx + 2y\,dy = 2s\,ds\]

然后两边除以 \(dt\) 得到变化率：

\[2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2s\frac{ds}{dt}\]

这就是隐函数求导——同时将所有变化量视为变量。

Note什么是勾股定理？

对于直角边为 \(a\) 和 \(b\)、斜边为 \(c\) 的直角三角形：

\[a^2 + b^2 = c^2\]

这是处理垂直方向上距离的首选方程。对于相关变化率，关键是识别哪些边是变量，哪些是常量。

Note什么是相似三角形？

两个三角形如果角度相同，则它们是相似的。当三角形相似时，对应边成比例：

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\]

影子问题几乎总是涉及由光源、物体和影子构成的相似三角形。

Note什么是向量分解？

任何速度向量都可以分解为两个垂直分量。如果你想知道运动如何影响某个特定方向（比如两个物体之间的距离），你将速度投影到那个方向上：

\[v_{\text{径向}} = v \cos\theta\]

其中 \(\theta\) 是速度和你关心的方向之间的角度。垂直分量 \(v \sin\theta\) 不影响距离——它只会引起旋转。

相关变化率的解题步骤

每个相关变化率问题都遵循相同的三步法则：

第一步——建立变量和变化率。 明确确定：

• 变量是什么（哪些量在变化）？
• 已知哪些变化率（\(\frac{dx}{dt}\)、\(\frac{dy}{dt}\) 等）？
• 要求的变化率是什么？
• 注意符号：如果一个量在减小，其变化率为负。

第二步——关联变量。 找到连接变量的几何方程（勾股定理、相似三角形等）。不要现在代入数值——方程必须在每个时刻都成立，而不仅仅是给定的那个时刻。

第三步——求导，然后代入。 对方程求微分（对每个变量取微分），除以 \(dt\)，然后再代入给定的数值。

问题 1：十字路口的两辆车

问题设置

两辆车在一个十字路口。车 A 以 \(60\) mph 向北行驶，车 B 以 \(40\) mph 向西行驶（朝交叉路口方向）。在所关注的时刻，车 A 在北边 \(500\) 米处，车 B 在东边 \(375\) 米处。两车之间的距离变化有多快？

绿色虚线是两车之间的距离 \(s\)。三角形的两条直角边为 \(x = 375\) 和 \(y = 500\)，构成 3-4-5 的比例。

微积分方法求解（相关变化率）

变量和变化率：

• \(y\) = 车 A 的位置（北方向），\(\frac{dy}{dt} = 60\) mph（增大）
• \(x\) = 车 B 的位置（东方向），\(\frac{dx}{dt} = -40\) mph（减小——朝原点移动）
• \(s\) = 两车之间的距离；求 \(\frac{ds}{dt}\)

用勾股定理关联变量：

\[s^2 = x^2 + y^2\]

求导（取微分，然后除以 \(dt\)）：

\[2s\,ds = 2x\,dx + 2y\,dy \quad \Longrightarrow \quad s\frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\]

代入。 注意 \(x : y = 375 : 500 = 3 : 4\)，所以 \(s\) 对应比例中的 \(5\)。我们只需要比值：

\[\frac{ds}{dt} = \frac{x}{s}\cdot\frac{dx}{dt} + \frac{y}{s}\cdot\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5}(-40) + \frac{4}{5}(60) = -24 + 48 = 24 \text{ mph}\]

Important核心要点：勾股定理的相关变化率

当两个物体沿垂直方向运动时，勾股定理将它们的位置联系起来，对其求导就能将它们的速度与两者距离的变化率联系起来。

\[\boxed{\frac{ds}{dt} = 24 \text{ mph}}\]

距离以 \(24\) mph 的速率增大。

速度分解法求解（物理方法）

与其用代数，不如将每辆车的速度分解为径向分量（沿连接 A 和 B 的方向）和切向分量（垂直于该方向）。只有径向分量影响两车之间的距离。

车 A 以 \(60\) mph 向上运动。三角形 \(OAB\) 的比例为 \(3:4:5\)，所以车 A 速度在径向方向的投影用 \(\cos\theta = \frac{4}{5}\)：

\[v_{r,A} = 60 \times \frac{4}{5} = 48 \text{ mph（使距离增大）}\]

车 B 以 \(40\) mph 向左运动。投影到径向方向用 \(\sin\theta = \frac{3}{5}\)：

\[v_{r,B} = 40 \times \frac{3}{5} = 24 \text{ mph（使距离减小）}\]

净变化率：

\[\frac{ds}{dt} = 48 - 24 = 24 \text{ mph}\]

答案相同——但一旦发现 \(3\)-\(4\)-\(5\) 比例，我们几乎可以直接口算出来。

问题 2：船与悬崖（绳索问题）

问题设置

一个人站在 \(50\) 米高的悬崖顶上，以 \(2\) m/s 的速度收绳，绳子连着一艘船。在所关注的时刻，船距悬崖底部 \(120\) 米。船靠近悬崖的速度是多少？

红色虚线是长度为 \(r = 130\) 的绳索。悬崖高度 \(h = 50\) 是常量——只有 \(x\) 和 \(r\) 是变量。

相关变化率求解

变量和变化率：

• \(r\) = 绳索长度（斜边），\(\frac{dr}{dt} = -2\) m/s（绳在变短）
• \(x\) = 船到悬崖底部的水平距离；求 \(\frac{dx}{dt}\)
• \(h = 50\) 米是常量（悬崖高度不变，所以 \(dh = 0\)）

关联变量：

\[r^2 = x^2 + h^2 = x^2 + 50^2\]

求导（由于 \(h\) 是常量，其微分为零）：

\[2r\,dr = 2x\,dx \quad \Longrightarrow \quad \frac{dx}{dt} = \frac{r}{x}\cdot\frac{dr}{dt}\]

求比值。 在此时刻：\(x = 120\)，\(h = 50\)。注意 \(120 : 50 = 12 : 5\)，所以边的比例为 \(5 : 12 : 13\)，得到 \(r/x = 13/12\)。

\[\frac{dx}{dt} = \frac{13}{12} \times (-2) = -\frac{13}{6} \text{ m/s}\]

Important核心要点：当一条边是常量时，问题变得简单

在船与悬崖问题中，悬崖高度永远不变，所以它的微分为零。这意味着只剩下两个变量，你可以得到收绳速度和船速之间的简洁比值关系。

\[\boxed{\frac{dx}{dt} = -\frac{13}{6} \approx -2.17 \text{ m/s}}\]

船以 \(\frac{13}{6}\) m/s 的速度靠近悬崖——比收绳速度更快，因为绳子是斜的。

速度分解法求解

绳子以 \(2\) m/s 的速率缩短——这是船速度的径向分量。船沿水平方向移动，所以它的全部速度 \(v\) 投影到绳索方向为 \(v \cdot \frac{12}{13}\)。令其等于 \(2\)：

\[v = 2 \times \frac{13}{12} = \frac{13}{6} \text{ m/s}\]

一旦发现 \(5\)-\(12\)-\(13\) 三角形，就可以直接口算。

问题 3：行走者的影子

问题设置

一根路灯高 \(5\) 米。一个身高 \(2\) 米的人以 \(3\) m/s 的速度远离路灯行走。当此人距路灯 \(3\) 米时，影子尖端移动的速度是多少？

拖动滑块 \(t\) 来移动人。观察影子尖端（绿点）如何总是成比例移动——\(s/x = 5/3\) 的比值永远不变。

求解

变量和常量：

• \(x\) = 人到路灯的距离（变量），\(\frac{dx}{dt} = 3\) m/s
• \(s\) = 影子尖端到路灯的距离（变量）；求 \(\frac{ds}{dt}\)
• 高度 \(H = 5\) 米（路灯）和 \(h = 2\) 米（人）是常量

用相似三角形建立关系。 大三角形（路灯到影子尖端，高 \(5\)，底 \(s\)）与小三角形（人到影子尖端，高 \(2\)，底 \(s - x\)）相似：

\[\frac{x}{s - x} = \frac{H - h}{h} = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2}\]

交叉相乘：

\[2x = 3(s - x) = 3s - 3x \quad \Longrightarrow \quad 5x = 3s\]

求导：

\[5\,dx = 3\,ds \quad \Longrightarrow \quad \frac{ds}{dt} = \frac{5}{3}\cdot\frac{dx}{dt} = \frac{5}{3} \times 3 = 5 \text{ m/s}\]

Important核心要点：相似三角形给出恒定比例的变化率

当相似三角形在两个变量之间建立线性关系（如 \(5x = 3s\)）时，它们的变化率也锁定在相同的比例中。这就是为什么无论人站在哪里，影子尖端的速度都是恒定的。

\[\boxed{\frac{ds}{dt} = 5 \text{ m/s}}\]

一个惊人的结果：影子尖端以恒定的 \(5\) m/s 移动，与人的位置无关。因为 \(s\) 和 \(x\) 之间的关系是线性的，所以它们的变化率是固定比例。

问题 4：墙上的影子

问题设置

一盏灯高 \(3\) 米，一个身高 \(2.5\) 米的人站在灯和墙之间，墙距灯 \(4\) 米远。这个人以 \(3\) m/s 的速度走向墙，目前距灯 \(1\) 米。墙上的影子移动有多快？

求解

变量和常量：

• \(x\) = 人到灯的距离（变量），\(\frac{dx}{dt} = 3\) m/s
• \(y\) = 墙上影子的高度（变量）；求 \(\frac{dy}{dt}\)
• 灯高 \(= 3\) 米，人高 \(= 2.5\) 米，墙距 \(= 4\) 米，都是常量

用相似三角形建立关系。 高 \(3\) 米的灯光越过人头顶（高 \(2.5\) 米）投射到墙上。由相似三角形：

\[\frac{x}{4 - x} = \frac{3 - 2.5}{y - 3} \quad \Longrightarrow \quad x(y - 3) = 0.5(4 - x) \quad \Longrightarrow \quad xy = 2 + 2.5x\]

求导，对 \(xy\) 使用乘积法则，然后除以 \(dt\)：

\[y\frac{dx}{dt} + x\frac{dy}{dt} = 2.5\frac{dx}{dt}\]

代入。 当 \(x = 1\) 时：\(y = 2 + 2.5 = 4.5\) 米。

\[4.5(3) + 1 \cdot \frac{dy}{dt} = 2.5(3) \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{dt} = 7.5 - 13.5 = -6\]

\[\boxed{\frac{dy}{dt} = -6 \text{ m/s}}\]

负号表示影子以 \(6\) m/s 的速度在墙上向下移动。与问题 3 不同，\(xy\) 的乘积使这个关系成为非线性的——影子速度取决于位置。

常见错误

1. 过早代入数值。 如果你在求导前就代入 \(x = 3\)，你会得到 \(\frac{d}{dt}(3) = 0\)——毫无意义。方程必须在每个时刻都成立。

2. 混淆变量和常量。 悬崖高度 \(h = 50\) 永远不变，所以 \(dh = 0\)。人的位置 \(x\) 是变化的，所以 \(dx \neq 0\)。在开始时就标注好一切。

3. 忘记符号。 如果一个量在减小，它的变化率是负的。车 B 靠近意味着 \(\frac{dx}{dt} < 0\)；收绳意味着 \(\frac{dr}{dt} < 0\)。

4. 直接取导数而不是取微分。 给每个变量各自的微分（\(2r\,dr = 2x\,dx\)），然后除以 \(dt\)。不要过早决定”对什么求导”。

速查表

所需内容	公式
勾股关系	\(s^2 = x^2 + y^2\)
勾股定理求导	\(s\dfrac{ds}{dt} = x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt}\)
相似三角形	\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}\)（对应边成比例）
径向投影	\(v_{\text{径向}} = v\cos\theta\)（沿距离方向的分量）
相关变化率步骤	(1) 建立变量和变化率，(2) 关联变量，(3) 求导并代入
乘积法则微分	\(d(xy) = y\,dx + x\,dy\)
关键原理	只有速度的径向分量才能改变两个物体之间的距离

相关变化率工作流程

\[\text{确定变量} \;\to\; \text{几何方程} \;\xrightarrow{\text{求导}}\; \text{微分方程} \;\xrightarrow{\div\, dt}\; \text{变化率方程} \;\xrightarrow{\text{代入}}\; \text{答案}\]