相关变化率——球体、圆锥与误差传播

如果你只知道一个气球的表面积增加有多快，怎么算出它的体积增长速度？圆锥形漏斗中的水位上升有多快？当你用角度测量建筑物的高度时，角度上的一点小误差会使你的答案偏差多少？这节课用同一个三步法来解决所有这些问题：关联变量、求导、求解。你会惊叹于这一种方法能处理如此多不同的现实问题！

Tip为什么相关变化率很重要

相关变化率让你在知道一个相关联的量变化多快的情况下，算出另一个量变化的速度：

• 医学：当球形肿瘤增大时，医生需要根据影像扫描的表面积测量来了解体积增加的速度
• 建筑：向圆锥形储罐中填充砂石或水——工程师需要预测液面上升的速度以防溢出
• 建筑设计：在保持总框架材料不变的情况下重新设计窗户时，相关变化率告诉你改变一个尺寸如何迫使另一个尺寸调整
• 测量：用角度从地面测量高楼或旗杆的高度——角度上的小测量误差会”传播”到计算出的高度中 这些问题都遵循同一个三步模式：关联变量、对时间求导、求解！

本课内容

• 球体的相关变化率：通过中间变量 \(r\) 连接 \(\frac{dA}{dt}\) 和 \(\frac{dV}{dt}\)
• 多变量相关变化率：法式窗户（矩形 + 半圆）在总周长恒定约束下的问题
• 圆锥/截锥注水问题，利用相似三角形消去变量
• 误差传播：在间接测量中将 \(d\theta\) 与 \(dh\) 联系起来
• 三步法：(1) 写出所有变量关系，(2) 对所有方程求导，(3) 代入求解

课程视频

课程关键帧

预备知识

Note什么是对时间的隐函数求导？

当两个变量通过方程如 \(A = 4\pi r^2\) 关联，且 \(A\) 和 \(r\) 都随时间变化时，你可以对两边关于 \(t\) 求导：

\[\frac{dA}{dt} = 8\pi r \,\frac{dr}{dt}\]

每个依赖于时间的变量通过链式法则都会带一个 \(\frac{d(\cdot)}{dt}\) 因子。常量保持不变。

Note什么是乘积法则？

当两个函数相乘时，导数为：

\[\frac{d}{dt}[f(t) \cdot g(t)] = f'(t)\,g(t) + f(t)\,g'(t)\]

这在相关变化率中经常出现。例如，对面积 \(A = 2rh\)（\(r\) 和 \(h\) 都随时间变化）求导得：

\[\frac{dA}{dt} = 2\frac{dr}{dt}\,h + 2r\,\frac{dh}{dt}\]

Note什么是相似三角形？

两个三角形如果角度相同，则它们是相似的。这意味着对应边的比值相等：

\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\]

在圆锥问题中，截面总是形成一个三角形，而任意高度处的水面形成一个与整个圆锥相似的较小三角形。这给出了水的半径和高度之间的固定比值。

Note球体和圆锥的体积与表面积公式是什么？

半径为 \(r\) 的球体：

\[A = 4\pi r^2 \qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

底面半径为 \(r\)、高为 \(h\) 的圆锥：

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

你现在不需要记住这些——它们将在课程后面用积分来证明。

Note什么是微分？

微分如 \(dh\) 表示 \(h\) 的无穷小变化。当我们写：

\[dh = f'(\theta)\,d\theta\]

意思是输入的微小变化 \(d\theta\) 会产生输出的微小变化 \(dh\)，按导数缩放。微分是相关变化率的基础——“变化率”就是微分除以 \(dt\)。

核心要点

相关变化率的三步法

每个相关变化率问题都遵循相同的模式：

1. 关联所有变量的方程（几何、定义、约束）
2. 求导每个方程关于时间 \(t\)
3. 代入已知值并求解未知变化率

关键规则：在求导之后才代入数值。 如果一个变量在变化，过早代入当前值会杀死导数。

类型 1：球体——表面积与体积

问题。 一个球的表面积以 \(\frac{dA}{dt} = 7 \text{ m}^2/\text{min}\) 的速率增加。求体积增加的速率。

第一步——关联变量。 \(A\) 和 \(V\) 都通过半径 \(r\) 自然联系：

\[A = 4\pi r^2 \qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

第二步——对两个方程求导：

\[dA = 8\pi r\,dr \qquad dV = 4\pi r^2\,dr\]

除以 \(dt\)：

\[\frac{dA}{dt} = 8\pi r\,\frac{dr}{dt} \qquad \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}\]

第三步——消去未知量 \(\frac{dr}{dt}\)。 由第一个方程：

\[\frac{dr}{dt} = \frac{7}{8\pi r}\]

代入第二个方程：

\[\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{7}{8\pi r} = \frac{7r}{2}\]

Important核心要点：连接表面积和体积的变化率

当球体增长时，其体积和表面积都依赖于半径。通过对每个公式求导并消去未知的 \(\frac{dr}{dt}\)，你可以直接将体积变化率与表面积变化率联系起来。

\[\boxed{\frac{dV}{dt} = \frac{7r}{2}}\]

答案取决于当前的半径 \(r\)。这在物理上是合理的：体积的单位是 \(\text{m}^3\)，表面积的单位是 \(\text{m}^2\)，所以体积的变化率必须多一个长度因子。

探索——当 \(\frac{dA}{dt} = 7\) 时，\(\frac{dV}{dt}\) 如何依赖于半径：

蓝线表示 \(\frac{dV}{dt} = \frac{7r}{2}\)。拖动 \(r\) 的滑块，可以看到体积增长率与当前半径成正比。

类型 2：总周长恒定的法式窗户

问题。 一扇法式窗户由一个矩形加上顶部半圆组成。半圆半径为 \(r\)（窗户宽度为 \(2r\)），矩形部分高度为 \(h\)。此时，\(r = 5\)，\(h = 8\)。高度以 \(\frac{dh}{dt} = -0.5\) 的速率减小。总框架（周长）保持不变。求 \(\frac{dA}{dt}\)。

第一步——写出所有方程。

窗户面积：

\[A = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2\]

总周长（框架材料）：

\[C = 2h + (2 + \pi)r\]

第二步——对两个方程求导。

面积（对 \(2rh\) 使用乘积法则）：

\[\frac{dA}{dt} = 2r\frac{dh}{dt} + 2h\frac{dr}{dt} + \pi r\frac{dr}{dt} = 2r\frac{dh}{dt} + (2h + \pi r)\frac{dr}{dt}\]

周长（恒定，所以 \(\frac{dC}{dt} = 0\)）：

\[0 = 2\frac{dh}{dt} + (2 + \pi)\frac{dr}{dt}\]

第三步——求解。 由周长方程解出 \(\frac{dr}{dt}\)：

\[\frac{dr}{dt} = \frac{-2\frac{dh}{dt}}{2 + \pi} = \frac{-2(-0.5)}{2 + \pi} = \frac{1}{2 + \pi}\]

现在将所有值代入面积方程：

\[\frac{dA}{dt} = 2(5)(-0.5) + \bigl(2(8) + 5\pi\bigr) \cdot \frac{1}{2 + \pi}\]

\[= -5 + \frac{16 + 5\pi}{2 + \pi}\]

关键教训：当一个约束使某个量保持恒定时，对它求导得到 \(\frac{dC}{dt} = 0\)，这提供了你需要的额外方程。

类型 3：圆锥形容器注水

问题。 一个圆锥底面半径 \(R = 4\) 厘米，高 \(H = 6\) 厘米，顶点在下，开口朝上。水以 \(\frac{dV_{\text{水}}}{dt} = 2 \text{ cm}^3/\text{s}\) 的速率注入。当水面高度达到 \(h = 3\) 厘米时，求 \(\frac{dh}{dt}\)。

巧妙的技巧。 不计算截锥体积，而是关注顶部的空圆锥。设 \(y\) 为空圆锥的高度，\(r\) 为其底面半径：

\[V_{\text{上}} = \frac{1}{3}\pi r^2 y\]

由于水在注入，空的体积在减小：

\[\frac{dV_{\text{上}}}{dt} = -2 \text{ cm}^3/\text{s}\]

利用相似三角形。 整个圆锥和上部空圆锥是相似的，所以 \(\frac{y}{r} = \frac{H}{R} = \frac{3}{2}\)，得到 \(r = \frac{2}{3}y\)，\(\frac{dr}{dt} = \frac{2}{3}\frac{dy}{dt}\)。

代入化为单变量。 将 \(r\) 替换为 \(\frac{2}{3}y\)：

\[V_{\text{上}} = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{2}{3}y\right)^2 y = \frac{4\pi}{27}y^3\]

求导：

\[\frac{dV_{\text{上}}}{dt} = \frac{4\pi}{9}y^2\frac{dy}{dt}\]

当 \(h = 3\) 时，空的部分高度为 \(y = H - h = 3\) 厘米：

\[-2 = \frac{4\pi}{9}(3)^2\frac{dy}{dt} = 4\pi\frac{dy}{dt}\]

\[\frac{dy}{dt} = \frac{-2}{4\pi} = \frac{-1}{2\pi}\]

由于 \(h = H - y\)，所以 \(\frac{dh}{dt} = -\frac{dy}{dt}\)：

Important核心要点：用相似三角形消去圆锥问题中的变量

圆锥的截面形成相似三角形，将半径和高度锁定在固定比例中。这让你可以将体积公式改写为只含一个变量，从而使求导更加简单。

\[\boxed{\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \text{ cm/s}}\]

探索——水注入时圆锥容器的截面：

拖动 \(h_0\) 来改变水位。圆锥底部较窄，所以相同的流量在较低水位时使水面上升更快，在接近宽顶部时更慢。

类型 4：误差传播

问题。 你在距旗杆 50 米处通过读取 \(\theta = 45°\) 来测量旗杆的高度。你的仪器精度为 \(\pm 0.1°\)。这会在高度中引入多大的误差？

关联变量。 由三角函数：

\[\tan\theta = \frac{h}{50} \quad \Longrightarrow \quad h = 50\tan\theta\]

求导（这里没有时间变量——只用微分）：

\[dh = 50\sec^2\theta\,d\theta\]

代入已知值。 在 \(\theta = 45°\) 时：

\[\cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Longrightarrow \quad \sec^2 45° = 2\]

而 \(d\theta = \pm 0.1°\)。转换为弧度：

\[d\theta = \pm 0.1 \times \frac{\pi}{180} \approx \pm 0.001745 \text{ rad}\]

因此：

\[dh = 50 \times 2 \times (\pm 0.001745) \approx \pm 0.175 \text{ m}\]

所以 \(0.1°\) 的角度误差导致高度约 \(\pm 0.175\) 米的误差。由于 \(h = 50\) 米，相对误差约为 \(0.35\%\)。

Tip误差传播与相关变化率的关系

误差传播就是没有时间变量的相关变化率。不是用 \(\frac{dh}{dt}\) 和 \(\frac{d\theta}{dt}\)，而是直接用微分 \(dh\) 和 \(d\theta\)。关键思想：不要直接计算 \(h(45.1°) - h(45°)\)。相反，将小偏差视为微分——这更快，而且给出适用于任何角度的公式。

探索——高度误差 \(dh\) 如何依赖于测量角度 \(\theta\)：

曲线显示在固定 \(d\theta = 0.1°\) 下，随角度 \(\theta\) 变化的高度误差 \(dh\)（单位：米）。在更陡的角度下，\(\sec^2\theta\) 迅速增长，这意味着同样的角度误差导致更大的高度误差。虚线标记的是 \(\theta = 45°\)。

速查表

相关变化率三步法

1. 关联所有变量的方程（几何、定义、约束）
2. 求导每个方程关于 \(t\)（或取微分）
3. 代入已知值求解——只在求导之后才代入数值

用到的关键公式

量	公式
球的表面积	\(A = 4\pi r^2\)
球的体积	\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
圆锥的体积	\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
正切关系	\(\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)
\(\tan\theta\) 的导数	\(\frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \sec^2\theta\)

常见陷阱

错误	修正
在求导前代入数值	保持变量为变量直到最后一步
两个变量相乘时忘记乘积法则	如果 \(A = 2rh\) 且两者都变化，使用 \(\dot{A} = 2\dot{r}h + 2r\dot{h}\)
忽略约束	常量的导数为零——这给你额外的方程
未知数太多	寻找几何关系（相似三角形、固定比值）来消去变量

误差传播公式

如果 \(y = f(x)\)，那么 \(x\) 的误差 \(dx\) 导致 \(y\) 的误差为：

\[dy = f'(x)\,dx\]

相对误差为 \(\displaystyle\frac{dy}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx\)。