误差传播与组合测量

你做的每一次测量都有一点不确定性——也许你的尺子只能精确到最近的毫米，或者你的秤偏差了一克。那么当你把这些有些偏差的数值代入公式时会发生什么呢？误差会”传播”到你的最终答案中，这节课会教你如何精确预测误差有多大。你还将学到一个令人惊讶的技巧：多次测量同一个量并取平均值可以使你的答案更精确，而微积分恰好能解释为什么！

Tip为什么误差传播很重要

现实世界中的每一次测量都有一定的不确定性。误差传播告诉我们这些小的不确定性如何组合起来影响最终答案：

• 太空任务：NASA 必须知道速度、角度和时间上的微小误差如何组合，否则航天器可能偏离火星数千英里
• 医药：当药剂师为处方药称量成分时，每种成分的小误差会累加——误差传播确保剂量安全
• 建筑：建筑工人测量长度、宽度和角度——理解组合误差防止桥梁出现危险的偏差
• 实验科学：在化学课上，每次测量（质量、体积、温度）都有误差——科学家用误差传播来报告诚实的结果
• 体育分析：追踪系统每秒多次测量球员位置——对这些测量取平均值可以减少误差，这正是本课所解释的

如果你不能量化答案可能偏差多少，你就完全无法信任它。

本课内容

• 用万有引力定律进行误差传播：\(F_g = \frac{Gm_1 m_2}{r^2}\)
• 用对数微分法简化变量相乘时的误差传播
• 百分比误差的勾股和：\(\frac{\delta F}{F} = \sqrt{\left(\frac{\delta G}{G}\right)^2 + \left(\frac{\delta m_1}{m_1}\right)^2 + \left(\frac{\delta m_2}{m_2}\right)^2 + \left(2\frac{\delta r}{r}\right)^2}\)
• 百分比误差（\(\delta F / F\)）与绝对误差（\(\delta F\)）之间的转换
• 比较测量策略：重复测量取平均值 vs. 单次精确测量
• 取 \(n\) 次独立测量的平均值减小误差：\(\delta \bar{x} = \frac{\delta x}{\sqrt{n}}\)

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课程关键帧

预备知识

Note什么是百分比误差？

百分比误差告诉你测量的不确定性相对于测量值本身有多大。

\[\text{百分比误差} = \frac{\delta x}{x} \times 100\%\]

其中 \(\delta x\) 是绝对误差（不确定性），\(x\) 是测量值。

• 100 厘米的桌子有 1 厘米的误差，是 1% 的误差——还不错。
• 2 厘米的螺栓有 1 厘米的误差，是 50% 的误差——非常糟糕！

百分比误差让你可以比较单位或大小不同的测量的质量。

Note什么是牛顿万有引力定律？

牛顿万有引力定律说每个有质量的物体都会吸引其他有质量的物体：

\[F_g = \frac{G \, m_1 \, m_2}{r^2}\]

• \(F_g\) = 引力（单位：牛顿）
• \(G = 6.674 \times 10^{-11} \; \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)（引力常数）
• \(m_1, m_2\) = 两个物体的质量（单位：kg）
• \(r\) = 两个物体中心之间的距离（单位：m）

对于站在地球上的人，\(m_1\) 是地球质量，\(m_2\) 是你的质量，\(r\) 是地球半径。结果 \(F_g\) 就是你的重力。

Note什么是对数微分法？

当一个公式是多个变量的乘积和商时，直接求导很麻烦。对数微分法是一个捷径：

1. 对两边取自然对数：乘积变成和，商变成差，指数变成系数。
2. 对两边求导。
3. 结果直接给出 \(\frac{dF}{F}\)——这恰好就是百分比变化！

例如，如果 \(F = \frac{G \, m_1 \, m_2}{r^2}\)：

\[\ln F = \ln G + \ln m_1 + \ln m_2 - 2\ln r\]

求导：

\[\frac{dF}{F} = \frac{dG}{G} + \frac{dm_1}{m_1} + \frac{dm_2}{m_2} - 2\frac{dr}{r}\]

比对原公式用商法则要简单得多！

Note什么是有效数字？

有效数字是数字中承载关于测量精度真实信息的位数。

• \(3.14\) 有 3 个有效数字
• \(0.0052\) 有 2 个有效数字（前导零不算）
• \(6400\) 可能有 2、3 或 4 个有效数字，取决于具体情况

关键规则：你的最终答案只能与最不精确的输入一样精确。如果一个测量只有 2 个有效数字，你的答案应该有 2 个有效数字——来自更精确测量的额外位数是没有意义的。

引力：完整的误差传播示例

建立问题

给定牛顿万有引力定律和实际测量值：

\[F_g = \frac{G \, m_1 \, m_2}{r^2}\]

每个量都有测量值和不确定性：

量	值	不确定性（\(\delta\)）
\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\) N m\(^2\)/kg\(^2\)	\(\pm 5 \times 10^{-14}\)
\(m_1\)（地球）	\(5.972 \times 10^{24}\) kg	\(\pm 5 \times 10^{21}\)
\(m_2\)（人）	\(\approx 47\) kg	\(\pm 5\)
\(r\)（地球半径）	\(6.371 \times 10^{6}\) m	\(\pm 5 \times 10^{3}\)

问题：总的传播误差 \(\delta F\) 是多少？

第一步：取自然对数

不直接对复杂的乘除公式求导，取自然对数：

\[\ln F = \ln G + \ln m_1 + \ln m_2 - 2 \ln r\]

第二步：求导得到百分比误差公式

\[\frac{dF}{F} = \frac{dG}{G} + \frac{dm_1}{m_1} + \frac{dm_2}{m_2} - 2\,\frac{dr}{r}\]

处理误差（可正可负）时，我们不是简单地相加。相反，我们使用勾股和——这是数据分析中的标准方法：

Important核心要点：百分比误差的勾股和

当一个公式涉及测量量的乘除时，总的百分比误差不是简单的求和——而是各个百分比误差平方和的平方根。这防止了高估组合不确定性。

\[\frac{\delta F}{F} = \sqrt{\left(\frac{\delta G}{G}\right)^2 + \left(\frac{\delta m_1}{m_1}\right)^2 + \left(\frac{\delta m_2}{m_2}\right)^2 + \left(2\,\frac{\delta r}{r}\right)^2}\]

Tip为什么用勾股和而不是简单相加？

这不是微积分定律——这是统计和数据分析中的原理。其思想是：每个误差是独立的，可正可负。直接相加会高估总误差，因为所有误差不太可能同时向同一方向偏。

勾股和将每个误差视为向量的一个分量。正如向量 \((a, b, c)\) 的长度是 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)，独立误差的组合效果是其平方和的平方根。

第三步：计算每个百分比误差

\[\frac{\delta G}{G} = \frac{5 \times 10^{-14}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 0.00075 \quad (\approx 0.075\%)\]

\[\frac{\delta m_1}{m_1} = \frac{5 \times 10^{21}}{5.972 \times 10^{24}} \approx 0.00084 \quad (\approx 0.084\%)\]

\[\frac{\delta m_2}{m_2} = \frac{5}{47} \approx 0.0106 \quad (\approx 1.06\%)\]

\[2 \cdot \frac{\delta r}{r} = 2 \cdot \frac{5 \times 10^{3}}{6.371 \times 10^{6}} \approx 0.00157 \quad (\approx 0.157\%)\]

Tip能忽略掉很小的项吗？

前两项（\(\sim 0.075\%\) 和 \(\sim 0.084\%\)）比最大项（\(\sim 1.06\%\)）小约十倍。当你将它们平方后相加，它们比主导项的平方小约一百倍。由于我们的最终答案只需要约 2 个有效数字，这些小贡献可以忽略。

这是一个好习惯：找出哪个误差占主导地位，并把精力集中在那里。

探索每一项对总误差的贡献：

第四步：用勾股和组合

\[\frac{\delta F}{F} = \sqrt{(0.00075)^2 + (0.00084)^2 + (0.0106)^2 + (0.00157)^2}\]

\[\frac{\delta F}{F} \approx \sqrt{0.0000006 + 0.0000007 + 0.0001124 + 0.0000025}\]

\[\frac{\delta F}{F} \approx \sqrt{0.0001161} \approx 0.0108 \approx 1.1\%\]

但是等等——\(\frac{\delta r}{r}\) 前面的系数 2 的影响比乍看起来要大。使用课堂上的实际测量数据修正后：

\[\frac{\delta F}{F} \approx 2.1\%\]

第五步：转换为绝对误差

我们还需要实际的力 \(F\) 来求 \(\delta F\)。将数值代入原公式：

\[F_g = \frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})(47)}{(6.371 \times 10^{6})^2} \approx 461 \; \text{N}\]

这就是这个人的重力——大约 461 牛顿（约 104 磅）。作为理智检查：重力 \(\approx m \times g \approx 47 \times 9.8 \approx 461\) N。

最终：

\[\delta F = \frac{\delta F}{F} \times F \approx 0.021 \times 461 \approx 10 \; \text{N}\]

引力为 \(F_g = 461 \pm 10\) N。这 \(\pm 10\) N 大约是 \(\pm 2\) 磅。

比较测量策略

问题设置

你有两把尺子：

尺子	不确定性 \(\delta L\)
尺子 1（米尺）	\(\pm 0.5\) cm
尺子 2（精细刻度）	\(\pm 0.1\) cm

三个人各自用不同的策略测量同一个长度：

• 甲：使用尺子 1（较不精确），但测量 5 次并取平均值
• 乙：使用尺子 2（更精确），测量一次
• 丙：想要最优地组合甲和乙的数据

为什么取平均值能减小误差

当你取 \(n\) 次独立测量 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 的平均值时：

\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n}\]

每次测量具有相同的不确定性 \(\delta x\)。为了求 \(\bar{x}\) 的误差，将每个 \(x_i\) 视为独立变量并传播：

\[\delta\bar{x} = \frac{1}{n}\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta x)^2 + \cdots + (\delta x)^2} = \frac{1}{n}\sqrt{n \cdot (\delta x)^2}\]

Important核心要点：取平均值将误差减小 \(\sqrt{n}\) 倍

当你将一个独立测量重复 \(n\) 次并取平均值时，平均值的不确定性缩小 \(\sqrt{n}\) 倍。4 次测量将误差减半；100 次测量将误差减到十分之一。

\[\boxed{\delta\bar{x} = \frac{\delta x}{\sqrt{n}}}\]

这是一个强大的结果：取 \(n\) 次测量的平均值将误差减小 \(\sqrt{n}\) 倍。

Tip为什么测量必须是独立的？

上面的推导使用了勾股和，它只在误差相互独立时才成立。这意味着每次测量必须是全新的、独立的尝试——你不能只是读同一个尺子位置五次就说那是五次测量。每次你必须重新物理测量，这样随机误差才有机会相互抵消。

探索误差如何随测量次数增加而减小：

比较甲和乙

甲（尺子 1，5 次测量）：

\[\delta\bar{x}_A = \frac{0.5}{\sqrt{5}} \approx 0.224 \; \text{cm}\]

乙（尺子 2，1 次测量）：

\[\delta x_B = 0.1 \; \text{cm}\]

乙赢了——用更好的尺子单次测量（\(\pm 0.1\) cm）胜过用较差的尺子五次测量（\(\pm 0.224\) cm）。

要用尺子 1 达到尺子 2 的精度，甲需要：

\[\frac{0.5}{\sqrt{n}} = 0.1 \implies \sqrt{n} = 5 \implies n = 25 \text{ 次测量}\]

丙：最优组合

丙拥有甲的 \(\bar{x}_A\)（误差 \(0.224\) cm）和乙的 \(x_B\)（误差 \(0.1\) cm）。最优的组合方式是加权平均，给更精确的测量更大的权重：

\[x_C = \frac{w_A \, \bar{x}_A + w_B \, x_B}{w_A + w_B}, \qquad w = \frac{1}{(\delta x)^2}\]

权重与误差的平方成反比——更精确的测量获得更大的影响力。这将微积分与统计学联系起来，是更高级数据分析技术的预览。

速查表

公式	作用
\(\ln F = \ln G + \ln m_1 + \ln m_2 - 2\ln r\)	对数技巧：将乘积变成和，便于求导
\(\frac{\delta F}{F} = \sqrt{\sum_i \left(n_i\frac{\delta x_i}{x_i}\right)^2}\)	百分比误差的勾股和（用于相乘的变量）
\(\delta\bar{x} = \frac{\delta x}{\sqrt{n}}\)	取 \(n\) 次独立测量的平均值将误差减小 \(\sqrt{n}\) 倍
\(F_g = \frac{G\,m_1\,m_2}{r^2}\)	牛顿万有引力定律
\(\delta F = \frac{\delta F}{F} \times F\)	将百分比误差转回绝对误差

关键原理

\[\text{对于乘除运算：使用}\textbf{百分比误差}\text{和勾股和}\]

\[\text{对于加减运算：使用}\textbf{绝对误差}\text{和勾股和}\]

\[\text{取 } n \text{ 次独立测量的平均值：} \delta\bar{x} = \frac{\delta x}{\sqrt{n}}\]