传播误差与对数微分法求百分比误差

每一次测量都不可避免地带有微小的误差——你的尺子精度有限，你的秤会四舍五入，等等。但当你把这些测量值代入公式时，误差会发生什么变化？在本课中，你将学习误差如何在计算过程中”传播”，如何利用巧妙的对数技巧简化数学运算，以及为什么独立误差像直角三角形的两条边一样组合，而不是简单相加。学完本课后，你将能够判断任何计算结果到底有多可靠。

Tip为什么传播误差很重要

现实世界中的每一次测量都有一定的不精确性。当你将这些测量值代入公式时，误差会”传播”到你的结果中。理解其机制至关重要：

• 太空任务：NASA 会计算火箭推力、燃料质量和时间中的微小误差如何叠加为轨道偏差——计算错误意味着可能偏离目标行星数百万英里
• 医学：血液检测结果取决于仪器精度、样本体积和化学浓度——医生在做出诊断前需要知道最终数值有多可靠
• 建筑：如果每根梁的长度都有微小的测量误差，摩天大楼的总高度不确定性取决于这些误差如何叠加——工程师必须确保建筑的安全性
• 体育分析：使用雷达追踪棒球速度时，距离和时间测量中的误差会传播到速度计算中——球探需要知道一名投手到底是投出了 95 英里/时还是可能只有 93 英里/时
• 大规模烹饪：为餐厅放大配方意味着每种配料测量中的微小误差会累积——百分比误差会告诉你这道菜是否仍然味道正确

本课内容

• 多变量公式中的传播误差：由 \(\Delta G\)、\(\Delta M\)、\(\Delta m\)、\(\Delta r\) 得到 \(\Delta F\)
• 对数微分法简化百分比误差计算
• 牛顿万有引力定律：\(F_G = \frac{G M m}{r^2}\)
• 百分比误差与绝对误差：\(\frac{dF}{F}\) 与 \(dF\)
• 独立误差的勾股（高斯）求和：\(\sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2 + \cdots}\)
• 测量策略的比较：重复测量与取平均值

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预备知识

Note什么是牛顿万有引力定律？

每一个有质量的物体都会吸引其他有质量的物体。它们之间的力为：

\[F_G = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\]

其中：

• \(G \approx 6.67 \times 10^{-11} \; \text{N m}^2/\text{kg}^2\) 是万有引力常数
• \(M\) 和 \(m\) 是两个物体的质量（例如地球和一个人）
• \(r\) 是它们中心之间的距离

这个公式告诉你你的重力：它是地球对你施加的引力。

Note什么是有效数字和舍入误差？

当一个数字写成 \(6.67 \times 10^{-11}\) 时，它有三位有效数字。真实值可能在 \(6.665 \times 10^{-11}\) 到 \(6.675 \times 10^{-11}\) 之间。

舍入误差（或不确定度）是最后一位数字位值的一半：

\[\Delta = \frac{1}{2} \times 10^{\text{最后一位数字的位值}}\]

对于 \(6.67 \times 10^{-11}\)，最后一位数字在系数的百分位上，所以 \(\Delta = 0.005 \times 10^{-11}\)。

你精度最低的测量值的有效数字位数决定了最终答案的精度上限。

Note什么是对数微分法？

当一个函数是多个部分的乘积或商时，先取自然对数可以将所有内容转化为加减法，这使得微分变得容易得多。

例如，如果 \(R(x) = \frac{(3x-4)^6 (1-7x)^3 (x+1)}{x^2 (2+x)^4}\)，那么：

\[\ln R(x) = 6\ln(3x-4) + 3\ln(1-7x) + \ln(x+1) - 2\ln(x) - 4\ln(2+x)\]

现在每一项都可以使用链式法则轻松求导，我们得到：

\[\frac{R'(x)}{R(x)} = \frac{18}{3x-4} - \frac{21}{1-7x} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x} - \frac{4}{2+x}\]

这避免了对原始表达式使用商法则和乘法法则的噩梦。

Note什么是微分？

微分 \(df\) 表示由输入的微小变化 \(dx\) 引起的 \(f\) 的微小变化：

\[df = f'(x) \cdot dx\]

在误差分析中，我们将 \(dx\) 重新解释为测量误差 \(\Delta x\)。那么 \(df \approx \Delta f\) 就给出了传播误差——由于输入不确定性导致输出的变化量。

百分比误差（或相对误差）为：

\[\frac{df}{f} = \frac{\Delta f}{f}\]

它告诉你不确定的部分占整个值的比例，这通常比单独的绝对误差更有意义。

Note什么是勾股定理？

勾股定理说的是，对于一个直角三角形，其两条直角边 \(a\) 和 \(b\) 与斜边 \(c\) 满足：

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

在误差分析中，我们对百分比误差使用勾股求和，因为独立误差不太可能全部朝同一方向偏移。它们表现得像垂直（正交）的分量，因此总误差的大小是平方和的平方根——就像求斜边一样。

核心概念

建立引力问题

我们希望使用测量值来计算一个人站在地球表面上所受的引力。每个测量值都带有舍入误差：

物理量	数值	误差 (\(\Delta\))
\(G\)（引力常数）	\(6.67 \times 10^{-11}\)	\(0.005 \times 10^{-11}\)
\(M\)（地球质量）	\(5.97 \times 10^{24}\) kg	\(0.005 \times 10^{24}\) kg
\(m\)（人的质量）	\(47\) kg	\(0.5\) kg
\(r\)（地球半径）	\(6.4 \times 10^{6}\) m	\(0.05 \times 10^{6}\) m

引力为：

\[F_G = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}\]

问题：求 \(\Delta F_G\)，即计算所得力的传播误差。

为什么直接微分是一场噩梦

如果你试图通过对每个变量微分 \(F_G\) 并使用商法则来直接计算 \(\Delta F_G\)，你将面临一个涉及四个变量相乘相除的庞大计算。代数运算既繁琐又容易出错。

技巧：使用对数微分法转化为百分比误差。

对数微分捷径

对力的方程两边取自然对数：

\[\ln F_G = \ln G + \ln M + \ln m - 2\ln r\]

乘积和商变成了简单的加法！现在进行微分：

Important核心要点：对数微分将乘积变为加法

当公式由各个量相乘相除构成时，取自然对数可以将一切转化为加减法。这样就能清楚地看出每个测量值的百分比误差如何影响最终结果。

\[\frac{dF_G}{F_G} = \frac{dG}{G} + \frac{dM}{M} + \frac{dm}{m} - 2\,\frac{dr}{r}\]

右边的每一项都是一个百分比误差——不确定度与数值本身的比率。这比计算绝对误差实用得多，因为 \(G\) 的绝对误差很小（量级为 \(10^{-11}\)）并不意味着 \(G\) 的精度很高；你必须将其与 \(G\) 本身进行比较。

探索——看看半径的百分比误差如何影响力：

拖动 \(a\) 来改变半径。红色虚线切线表示线性近似——它的斜率是 \(-2/a^3\)，反映了 \(\frac{dr}{r}\) 前面的系数 \(2\)。\(r\) 的微小变化会导致 \(F\) 大约两倍大的百分比变化。

计算每个百分比误差

现在代入数值：

\[\frac{\Delta G}{G} = \frac{0.005}{6.67} \approx 0.00075 \approx 0.075\%\]

\[\frac{\Delta M}{M} = \frac{0.005}{5.97} \approx 0.00084 \approx 0.084\%\]

\[\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.5}{47} \approx 0.0106 \approx 1.06\%\]

\[2 \cdot \frac{\Delta r}{r} = 2 \cdot \frac{0.05}{6.4} \approx 0.0156 \approx 1.56\%\]

注意前两项（约 \(0.1\%\)）与后两项（约 \(1\%\)）相比非常小。事实上，去掉前两项几乎不会改变最终结果——始终让精度最低的测量值主导你的分析。

勾股求和：为什么不能简单相加

如果我们简单地将四个百分比误差相加，我们得到的是最坏情况的上界——好像每个误差都恰好朝同一方向偏移。但实际上，误差是独立的（高斯分布的）：一个测量值可能偏高，而另一个可能偏低。

独立误差就像垂直的坐标轴——\(G\) 的偏差不会影响 \(m\) 的偏差。因此，正确的组合方式是勾股求和（也称为均方根和）：

Important核心要点：独立误差的勾股求和

因为独立的测量误差不太可能全部朝同一方向偏移，我们像直角三角形的直角边一样组合它们，而不是简单相加。总百分比误差总是小于最坏情况的简单求和。

\[\frac{\Delta F_G}{F_G} = \sqrt{\left(\frac{\Delta G}{G}\right)^2 + \left(\frac{\Delta M}{M}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(2\frac{\Delta r}{r}\right)^2}\]

探索——两个误差的勾股求和与简单求和的比较：

拖动 \(a\) 和 \(b\) 来表示两个误差的大小。绿色和橙色线段是”直角边”（各自的误差），紫色虚线是勾股斜边（真实的组合误差），红色点是简单求和（最坏情况）。勾股求和总是更小或相等。

代入数字计算

代入所有四项：

\[\frac{\Delta F_G}{F_G} = \sqrt{(0.00075)^2 + (0.00084)^2 + (0.0106)^2 + (0.0156)^2}\]

\[= \sqrt{0.0000006 + 0.0000007 + 0.000112 + 0.000243}\]

\[= \sqrt{0.000356} \approx 0.0189 \approx 2.1\%\]

注意前两项在平方根内的贡献几乎为零——正如预期的那样，精度最低的测量值占主导地位。

从百分比误差回到绝对误差

百分比误差 \(\frac{\Delta F_G}{F_G}\) 不是最终答案！我们仍然需要求出 \(\Delta F_G\) 本身。首先，用原始公式计算 \(F_G\)：

\[F_G = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(47)}{(6.4 \times 10^{6})^2} \approx 459 \;\text{N}\]

这接近 \(47 \times 9.8 = 460.6\) N——是一个很好的验证，因为 \(g \approx 9.8 \;\text{m/s}^2\)。

然后绝对误差为：

\[\Delta F_G = F_G \times \frac{\Delta F_G}{F_G} \approx 459 \times 0.021 \approx 10 \;\text{N}\]

这大约是计算重力中 2 磅的不确定性——非常合理！

比较测量策略

假设你想测量一个长度，有两把尺子：

尺子	最小刻度	误差 \(\Delta L\)
尺子 1（米尺）	1 cm	0.5 cm
尺子 2（精密尺）	1 mm	0.1 cm

三种策略：

• A：使用尺子 1 测量五次，取平均值
• B：使用尺子 2 测量一次
• C：将 A 和 B 的数据最优组合

对于策略 A，每次测量 \(x_1, x_2, \ldots, x_5\) 是独立的，误差为 \(\Delta L = 0.5\) cm。平均值为：

\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5}\]

由于误差是独立的，勾股求和适用于分子，除以 5 得到：

\[\Delta \bar{x} = \frac{\sqrt{5 \cdot (0.5)^2}}{5} = \frac{0.5}{\sqrt{5}} \approx 0.22 \;\text{cm}\]

Important核心要点：取平均值可将误差缩小 \(1/\sqrt{n}\) 倍

如果你重复测量 \(n\) 次并取平均值，误差会缩小 \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) 倍。四次测量可以将误差减半；要将误差缩小十倍，你需要一百次测量。

\[\Delta \bar{x} = \frac{\Delta x}{\sqrt{n}}\]

重复独立测量可以将精度提高 \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) 倍，其中 \(n\) 是测量次数。

策略 B 在一次测量中给出 \(\Delta L = 0.1\) cm——比 A 的 \(0.22\) cm 更好！

策略 C（组合两者的数据）可以通过按精度加权每次测量来做得更好——这是未来学习的主题。

速查表

公式	含义
\(F_G = \dfrac{GMm}{r^2}\)	牛顿万有引力定律
\(\ln F_G = \ln G + \ln M + \ln m - 2\ln r\)	对数技巧：乘积变加法
\(\dfrac{dF}{F} = \dfrac{dG}{G} + \dfrac{dM}{M} + \dfrac{dm}{m} - 2\dfrac{dr}{r}\)	对数微分得到的百分比误差
\(\dfrac{\Delta F}{F} = \sqrt{\sum_i \left(\frac{\Delta x_i}{x_i}\right)^2}\)	独立误差的勾股求和
\(\Delta \bar{x} = \dfrac{\Delta x}{\sqrt{n}}\)	取 \(n\) 次测量平均值的误差缩减

核心原则

1. 百分比误差 > 绝对误差：始终比较 \(\frac{\Delta x}{x}\)，而不仅仅是 \(\Delta x\)
2. 对数微分：当变量相乘/相除时，先取 \(\ln\) 来简化
3. 勾股求和：独立误差按 \(\sqrt{a^2 + b^2}\) 组合，而不是 \(a + b\)
4. 木桶短板：你的答案精度受限于精度最低的测量值
5. 别忘了最后一步：\(\Delta F = F \times \frac{\Delta F}{F}\)——始终转换回绝对误差